15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ BA = BC $,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,交 $ AC $ 于点 $ D $,点 $ M $,$ N $ 分别为 $ BD $,$ BC $ 上的动点,若 $ BC = 4 $,$ \triangle ABC $ 的面积为 6,则 $ AM $ 与 $ CM $ 的数量关系是 $ $,$ CM + MN $ 的最小值为 $ $。

AM = CM　3　解析:因为在△ABC中，BA = BC,BD平分∠ABC,　所以BD⊥AC,AD = CD,　所以BD垂直平分AC,所以CM = AM，所以CM + MN = AM + MN.　如图，当A,M,N三点共线且AN⊥BC时,CM + MN = AM + MN = AN,此时AN最小,即CM + MN的值最小.　　　　　　　 因为S△ABC = $\frac{1}{2}BC\cdot AN$ = 6,　所以$\frac{1}{2}×4× AN$ = 6,解得AN = 3,　所以CM + MN的最小值为3.

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC = BC $,$ AB = 8 $,$ CD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,以 $ BC $ 为腰作等腰直角三角形 $ BCE $,使 $ \angle CBE = 90° $,连接 $ AE $,则 $ BD = $ $ $,$ \triangle ABE $ 的面积为 $ $。

4　16　解析:如图,过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F.　　　　　　 因为AC = BC,AB = 8,CD是△ABC的角平分线,所以CD⊥AB,BD = AD = $\frac{1}{2}AB$ = 4,所以∠F = ∠CDB = 90°.因为△BCE是等腰直角三角形,∠CBE = 90°,所以EB = BC,∠FBE = 90° - ∠DBC = ∠DCB.在△FBE和△DCB中,$\begin{cases} ∠FBE = ∠DCB, \\ ∠F = ∠CDB, \\ EB = BC, \end{cases}$所以△FBE≌△DCB(AAS),所以EF = BD = 4,所以S△ABE = $\frac{1}{2}AB\cdot EF=\frac{1}{2}×8×4$ = 16.

17. 若 $ a $,$ b $,$ c $ 是 $ \triangle ABC $ 的三边的长,化简 $ |a - b - c| - |b - c - a| + |a + b - c| $。

解:根据三角形三边之间的关系可得,a - b - c＜0,b - c - a＜0,a + b - c＞0,　所以|a - b - c| - |b - c - a| + |a + b - c|　= - a + b + c - ( - b + c + a)+(a + b - c)　= - a + b + c + b - c - a + a + b - c 　= - a + 3b - c.

解:根据三角形三边关系，得$a - b - c ＜ 0$，$b - c - a ＜ 0$，$a + b - c ＞ 0$。
$|a - b - c| - |b - c - a| + |a + b - c|$
$= - (a - b - c) - [ - (b - c - a)] + (a + b - c)$
$= - a + b + c + b - c - a + a + b - c$
$= - a + 3b - c$

18. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90° $,$ AC = BC $,$ CD $ 平分 $ \angle ACB $,$ E $ 为 $ AB $ 边上一点,且 $ \angle ACE = \angle CBD $。求证：$ AE = CD $。

证明:因为∠ACB = 90°,AC = BC,　所以∠A = 45°.　因为CD平分∠ACB，所以∠BCD = 45°,　所以∠BCD = ∠A.　又因为∠ACE = ∠CBD,AC = CB,　所以△ACE≌△CBD(ASA),　所以AE = CD.

证明:
∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠A=45°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠BCD=45°,
∴∠BCD=∠A.
∵∠ACE=∠CBD,AC=CB,
∴△ACE≌△CBD(ASA),
∴AE=CD.

19. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是角平分线,$ BE $ 是高,$ AD $ 与 $ BE $ 相交于点 $ O $。
(1)若 $ \angle AOE = 60° $,求 $ \angle ABE $ 的度数；
(2)若 $ \angle BAD = 30° $,$ \angle CBE = 50° $,求 $ \angle ADC $ 的度数。

(1)由题意可知∠BEA = 90°.　因为∠AOE = 60°,　所以∠DAE = 90° - ∠AOE = 30°.　因为AD是角平分线,　所以∠BAE = 2∠DAE = 60°,　所以∠ABE = 90° - ∠BAE = 30°.　即∠ABE的度数为30°.　
(2)由题意可知∠BEC = 90°.　因为∠CBE = 50°,　所以∠C = 90° - ∠CBE = 40°.　因为AD是△ABC的角平分线,　所以∠CAD = ∠BAD = 30°,　所以∠ADC = 180° - ∠C - ∠CAD = 110°,　即∠ADC的度数为110°.