1. 若直线 $ y = 2x + m $ 经过点 $ A(3,2) $，则 $ m $ 的值为()

A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ -4 $
D.$ 0 $

C
【解析】：
本题主要考察了一次函数的应用，特别是如何根据给定的点求解函数的参数。
已知直线方程为 y = 2x + m，并且这条直线经过点 A(3,2)。
根据一次函数的定义，我们可以将点 A 的坐标代入直线方程中，即：
2 = 2 × 3 + m
解这个方程，我们可以得到 m 的值。
【答案】：
解：
将点 A(3,2) 代入直线方程 y = 2x + m，得到：
2 = 2 × 3 + m
2 = 6 + m
m = 2 - 6
m = -4
故答案为：C. -4。

2. 若一个正比例函数的图象经过点 $ A(a,2) $，$ B(a + 1,4) $，则这个正比例函数的表达式为()

A.$ y = 2x $
B.$ y = -2x $
C.$ y = \frac{1}{2}x $
D.$ y = -\frac{1}{2}x $

A
解：设正比例函数表达式为$y=kx(k\neq0)。$
因为函数图象经过点A(a,2)，B(a+1,4)，所以可得：
2=ka ①
4=k(a+1) ②
② - ①得：4 - 2 = k(a + 1) - ka
2 = k
将k=2代入①得：2 = 2a，解得a=1
所以正比例函数表达式为y=2x
答案：A

3. 若直线 $ y = kx + 3 $ 经过点 $ A(1,2) $，且与 $ x $ 轴交于点 $ B $，则点 $ B $ 的坐标是。

(3，0)
解：
∵直线y=kx+3经过点A(1,2)，
∴将x=1，y=2代入y=kx+3，得2=k×1+3，
解得k=-1，
∴直线解析式为y=-x+3。
∵点B是直线与x轴的交点，
∴令y=0，则0=-x+3，
解得x=3，
∴点B的坐标是(3,0)。
(3,0)

4. 已知直线 $ y = kx(k \neq 0) $ 经过点 $ P(2,6) $。若将该直线向下平移 $ 2 $ 个单位长度，则平移后所得直线对应的函数表达式是。

y=3x - 2
解：因为直线$y=kx(k\neq0)$经过点P(2,6)，所以将x=2，y=6代入y=kx，得6=2k，解得k=3，则原直线表达式为y=3x。
将直线y=3x向下平移2个单位长度，根据平移规律“上加下减”，平移后所得直线对应的函数表达式是y=3x - 2。
故答案为：y=3x - 2

5. 已知 $ y - 2 $ 与 $ x + 1 $ 成正比例关系，且当 $ x = -2 $ 时，$ y = 6 $。
(1) 写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2) 当 $ x = -1 $ 时，求 $ y $ 的值。
(3) 当 $ y = 4 $ 时，求 $ x $ 的值。

(1)设$y - 2 = k(x + 1)（k\neq0），$将x = -2，y = 6代入得：6 - 2 = k(-2 + 1)，即4 = -k，解得k = -4，所以y与x的关系式为y - 2 = -4(x + 1)，化简得y = -4x - 2；
(2)当x = -1时，$y = -4\times(-1) - 2 = 4 - 2 = 2；$
(3)当y = 4时，4 = -4x - 2，移项得-4x = 6，解得$x = -\frac{3}{2}。$
【解析】：
本题主要考察一次函数的关系建立以及代入法求解未知数。
(1)根据正比例关系，我们可以设y-2=k(x+1)，其中k是比例系数。
根据题目给出的条件，当x=-2时，y=6，我们可以将这个条件代入上述关系式，得到k的值。
(2)和(3)则是将已知的x或y的值代入关系式，求解对应的y或x的值。
【答案】：
(1)解：
设y-2=k(x+1)，
代入x=-2，y=6，得：
6-2=k(-2+1)，
4=-k，
k=-4，
所以，y与x之间的关系式为：
y-2=-4(x+1)，
即：
y=-4x-2。
(2)将x=-1代入y=-4x-2，得：
y=-4×(-1)-2=2。
(3)将y=4代入y=-4x-2，得：
4=-4x-2，
-4x=6，
$x=-\frac{3}{2}。$

6. 如图，已知等腰直角三角形 $ ABC $ 的顶点 $ B $，$ C $ 分别在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，点 $ B $ 的坐标是 $ (-1,0) $，点 $ C $ 的坐标是 $ (0,3) $，求直线 $ AC $ 的函数表达式。
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解：过点​A​作​AD⊥x​轴于点​D​
∵​B(-1，​​0)，​​C(0，​​3)​
∴​OB=1，​​OC=3​
∵​∆ABC​为等腰直角三角形，​∠ABC=90°​
∴​AB=BC​
∵​∠ABD + ∠OBC = 90°，​
​∠OBC + ∠BCO = 90°​
∴​∠ABD = ∠BCO​
在​∆ABD​和​∆BCO​中
$​\begin {cases}{∠ADB = ∠BOC = 90°}\\{∠ABD = ∠BCO}\\{AB = BC}\end {cases}​$
∴$​∆ABD≌∆BCO(\mathrm {AAS})​$
∴​AD = BO = 1，​​BD = CO = 3​
∴点​A​的坐标为​(-4，​​1)​
设直线​AC​的函数表达式为​y = kx + b​
把​A(-4，​​1)，​​C(0，​​3)​分别代入
得$​\begin {cases}{-4k+b=1}\\{b=3}\end {cases}，$​解得$​\begin {cases}{k=\frac 12}\\{b=3}\end {cases}​$
∴直线​AC​的函数表达式为$​y=\frac 12x+3​$