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1. 下列算式计算结果为 $x^{2} - x - 12$ 的是(
A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
A
)A.$(x + 3)(x - 4)$
B.$(x - 3)(x + 4)$
C.$(x - 3)(x - 4)$
D.$(x + 3)(x + 4)$
答案
A
解析
根据多项式与多项式相乘的规则，分别计算各选项的结果：
A. $(x + 3)(x - 4) = x^{2} - 4x + 3x - 12 = x^{2} - x - 12$，与题目要求一致。
B. $(x - 3)(x + 4) = x^{2} + 4x - 3x - 12 = x^{2} + x - 12$，与题目要求不一致。
C. $(x - 3)(x - 4) = x^{2} - 4x - 3x + 12 = x^{2} - 7x + 12$，与题目要求不一致。
D. $(x + 3)(x + 4) = x^{2} + 4x + 3x + 12 = x^{2} + 7x + 12$，与题目要求不一致。
因此，只有选项A的计算结果为$x^{2} - x - 12$。
A. $(x + 3)(x - 4) = x^{2} - 4x + 3x - 12 = x^{2} - x - 12$，与题目要求一致。
B. $(x - 3)(x + 4) = x^{2} + 4x - 3x - 12 = x^{2} + x - 12$，与题目要求不一致。
C. $(x - 3)(x - 4) = x^{2} - 4x - 3x + 12 = x^{2} - 7x + 12$，与题目要求不一致。
D. $(x + 3)(x + 4) = x^{2} + 4x + 3x + 12 = x^{2} + 7x + 12$，与题目要求不一致。
因此，只有选项A的计算结果为$x^{2} - x - 12$。
2. 如果关于 $x$ 的多项式 $(2x - m)$ 与 $(x + 5)$ 的乘积中,常数项为 $15$,则 $m$ 的值为(
A.$3$
B.$-3$
C.$10$
D.$-10$
B
)A.$3$
B.$-3$
C.$10$
D.$-10$
答案
B
解析
首先，计算多项式 $(2x - m)$ 与 $(x + 5)$ 的乘积：
$(2x - m)(x + 5) = 2x \cdot x + 2x \cdot 5 - m \cdot x - m \cdot 5 = 2x^2 + 10x - mx - 5m$
常数项为 $-5m$，根据题意，常数项为 $15$，所以：
$-5m = 15$
解得：
$m = -3$
3. 下列各式中错误的是(
A.$(2a + 3)(2a - 3) = 4a^{2} - 9$
B.$(x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = x^{3} - y^{3}$
C.$(3a + 4b)^{2} = (3a + 4b)(3a + 4b) = 9a^{2} + 24ab + 4b^{2}$
D.$(x + 2)(x - 10) = x^{2} - 8x - 20$
C
)A.$(2a + 3)(2a - 3) = 4a^{2} - 9$
B.$(x - y)(x^{2} + xy + y^{2}) = x^{3} - y^{3}$
C.$(3a + 4b)^{2} = (3a + 4b)(3a + 4b) = 9a^{2} + 24ab + 4b^{2}$
D.$(x + 2)(x - 10) = x^{2} - 8x - 20$
答案
C
解析
A. $(2a + 3)(2a - 3) = (2a)^2 - 3^2 = 4a^2 - 9$，正确；
B. $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$，正确；
C. $(3a + 4b)^2 = (3a)^2 + 2×3a×4b + (4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2$，原式中$4b^2$错误，应为$16b^2$；
D. $(x + 2)(x - 10) = x^2 - 10x + 2x - 20 = x^2 - 8x - 20$，正确。
B. $(x - y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 + x^2y + xy^2 - x^2y - xy^2 - y^3 = x^3 - y^3$，正确；
C. $(3a + 4b)^2 = (3a)^2 + 2×3a×4b + (4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2$，原式中$4b^2$错误，应为$16b^2$；
D. $(x + 2)(x - 10) = x^2 - 10x + 2x - 20 = x^2 - 8x - 20$，正确。
4. 若 $(x + 2)(x + a) = x^{2} - bx - 8$,则 $a^{b}$ 的值是(
A.$-8$
B.$-4$
C.$\frac{1}{8}$
D.$16$
D
)A.$-8$
B.$-4$
C.$\frac{1}{8}$
D.$16$
答案
D
解析
先将左边展开，$(x + 2)(x + a) = x^2 + (a + 2)x + 2a$，
根据等式右边$x^2 - bx - 8$，比较系数得：
$a + 2 = -b$，
$2a = -8$，
解得$a = -4$，$b = 2$，
所以$a^b = (-4)^2 = 16$。
根据等式右边$x^2 - bx - 8$，比较系数得：
$a + 2 = -b$，
$2a = -8$，
解得$a = -4$，$b = 2$，
所以$a^b = (-4)^2 = 16$。
5. 若 $(2x + m)(x - 3)$ 的展开式中不含 $x$ 项,则实数 $m$ 的值为(
A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
D
)A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
答案
D
解析
首先，将多项式 $(2x + m)(x - 3)$ 展开，得到：
$(2x + m)(x - 3) = 2x^2 - 6x + mx - 3m = 2x^2 + (m - 6)x - 3m$，
由题目条件知，展开式中不含 $x$ 项，即 $x$ 的系数为 $0$。
因此，有：
$m - 6 = 0$，
解得：
$m = 6$。
$(2x + m)(x - 3) = 2x^2 - 6x + mx - 3m = 2x^2 + (m - 6)x - 3m$，
由题目条件知，展开式中不含 $x$ 项，即 $x$ 的系数为 $0$。
因此，有：
$m - 6 = 0$，
解得：
$m = 6$。
6. 计算：
(1) $(2x + 3y)(3x - 2y)$；
(2) $(2x - y)(2x + y + 1)$；
(3) $(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})$；
(4) $3(2x - 1)(x + 6) - 5(x - 3)(x + 6)$。
(1) $(2x + 3y)(3x - 2y)$；
(2) $(2x - y)(2x + y + 1)$；
(3) $(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})$；
(4) $3(2x - 1)(x + 6) - 5(x - 3)(x + 6)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(2x + 3y)(3x - 2y)\\=&2x×3x-2x×2y + 3y×3x-3y×2y\\=&6x^{2}-4xy + 9xy-6y^{2}\\=&6x^{2}+5xy - 6y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y + 1)\\=&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)×1\\=&(4x^{2}-y^{2})+2x - y\\=&4x^{2}-y^{2}+2x - y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})\\=&(4a^{2}-b^{2})(4a^{2}+b^{2})\\=&16a^{4}-b^{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&3(2x - 1)(x + 6)-5(x - 3)(x + 6)\\=&3(2x^{2}+12x - x - 6)-5(x^{2}+6x - 3x - 18)\\=&3(2x^{2}+11x - 6)-5(x^{2}+3x - 18)\\=&6x^{2}+33x - 18-(5x^{2}+15x - 90)\\=&6x^{2}+33x - 18 - 5x^{2}-15x + 90\\=&x^{2}+18x + 72\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(2x + 3y)(3x - 2y)\\=&2x×3x-2x×2y + 3y×3x-3y×2y\\=&6x^{2}-4xy + 9xy-6y^{2}\\=&6x^{2}+5xy - 6y^{2}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(2x - y)(2x + y + 1)\\=&(2x - y)(2x + y)+(2x - y)×1\\=&(4x^{2}-y^{2})+2x - y\\=&4x^{2}-y^{2}+2x - y\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&(2a + b)(2a - b)(4a^{2} + b^{2})\\=&(4a^{2}-b^{2})(4a^{2}+b^{2})\\=&16a^{4}-b^{4}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&3(2x - 1)(x + 6)-5(x - 3)(x + 6)\\=&3(2x^{2}+12x - x - 6)-5(x^{2}+6x - 3x - 18)\\=&3(2x^{2}+11x - 6)-5(x^{2}+3x - 18)\\=&6x^{2}+33x - 18-(5x^{2}+15x - 90)\\=&6x^{2}+33x - 18 - 5x^{2}-15x + 90\\=&x^{2}+18x + 72\end{aligned}$
7. 若 $M = (x - 3)(x - 5)$,$N = (x - 2)(x - 6)$,则 $M$ 与 $N$ 的关系是(
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
A
)A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
答案
A
解析
首先，计算$M$和$N$的值：
$M=(x - 3)(x - 5)=x^{2}-5x-3x + 15=x^{2}-8x + 15$；
$N=(x - 2)(x - 6)=x^{2}-6x-2x + 12=x^{2}-8x + 12$。
然后，求$M - N$的值：
$M - N=(x^{2}-8x + 15)-(x^{2}-8x + 12)=x^{2}-8x + 15 - x^{2}+8x - 12 = 3$。
因为$M - N = 3＞0$，所以$M＞N$。
$M=(x - 3)(x - 5)=x^{2}-5x-3x + 15=x^{2}-8x + 15$；
$N=(x - 2)(x - 6)=x^{2}-6x-2x + 12=x^{2}-8x + 12$。
然后，求$M - N$的值：
$M - N=(x^{2}-8x + 15)-(x^{2}-8x + 12)=x^{2}-8x + 15 - x^{2}+8x - 12 = 3$。
因为$M - N = 3＞0$，所以$M＞N$。
8. 设有若干张边长为 $a$ 的 $A$ 类正方形纸片,边长为 $b(a ＞ b)$ 的 $B$ 类正方形纸片,长为 $a$、宽为 $b$ 的 $C$ 类长方形纸片。如图,要拼一个边长为 $a + b$ 的正方形,需要 $1$ 张 $A$ 类纸片、$1$ 张 $B$ 类纸片和 $2$ 张 $C$ 类纸片。若要拼一个长为 $3a + b$、宽为 $2a + 2b$ 的长方形,则需要 $C$ 类纸片的张数为(
A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
C
)A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$
答案
C
解析
长方形面积为$(3a + b)(2a + 2b) = 6a^2 + 6ab + 2ab + 2b^2 = 6a^2 + 8ab + 2b^2$。A类纸片面积为$a^2$，B类为$b^2$，C类为$ab$。C类纸片张数对应$ab$项系数，即8。
9. 观察下列各式的规律：
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$
……
可得到 $(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = $
一般地,$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $
$(x - 1)(x + 1) = x^{2} - 1$
$(x - 1)(x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$
$(x - 1)(x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$
……
可得到 $(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = $
$x^{8}-1$
；一般地,$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1) = $
$x^{n+1}-1$
。答案
$x^{8}-1$；$x^{n+1}-1$
解析
观察已知等式，左边为$(x - 1)$与一个多项式相乘，多项式各项系数为1，次数从$x^{n}$依次递减到$x^{0}$（即常数项1），右边结果为$x$的最高次幂加1次方减1。
对于$(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$，最高次幂为7，故结果为$x^{8} - 1$；
一般地，$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1)$，最高次幂为$n$，结果为$x^{n + 1} - 1$。
对于$(x - 1)(x^{7} + x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1)$，最高次幂为7，故结果为$x^{8} - 1$；
一般地，$(x - 1)(x^{n} + x^{n - 1} + … + x^{2} + x + 1)$，最高次幂为$n$，结果为$x^{n + 1} - 1$。
10. 在一次测验中,甲、乙两同学计算同一道整式乘法试题：$(2x + a)(3x + b)$,由于甲把第一个多项式中第二项的 $+a$ 抄成了 $-a$,得到的结果为 $6x^{2} + 11x - 10$；由于乙漏抄了第二个多项式中第一项的系数,得到的结果为 $2x^{2} - 9x + 10$。
(1) 试求出式子中 $a$,$b$ 的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
(1) 试求出式子中 $a$,$b$ 的值；
(2) 请你计算出这道整式乘法的正确结果。
答案
(1) 甲计算的式子为$(2x - a)(3x + b)$，展开得：
$6x^2 + (2b - 3a)x - ab$，
由结果$6x^2 + 11x - 10$，得：
$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\ ab = 10\end{cases}$
乙计算的式子为$(2x + a)(x + b)$，展开得：
$2x^2 + (2b + a)x + ab$，
由结果$2x^2 - 9x + 10$，得：
$\begin{cases}2b + a = -9 \\ ab = 10\end{cases}$
联立$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\ 2b + a = -9\end{cases}$，
两式相减：$-4a = 20$，解得$a = -5$，
代入$2b + a = -9$：$2b - 5 = -9$，解得$b = -2$。
(2) 正确式子为$(2x - 5)(3x - 2)$，展开得：
$6x^2 - 4x - 15x + 10 = 6x^2 - 19x + 10$
(1) $a = -5$，$b = -2$；
(2) $6x^2 - 19x + 10$
$6x^2 + (2b - 3a)x - ab$，
由结果$6x^2 + 11x - 10$，得：
$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\ ab = 10\end{cases}$
乙计算的式子为$(2x + a)(x + b)$，展开得：
$2x^2 + (2b + a)x + ab$，
由结果$2x^2 - 9x + 10$，得：
$\begin{cases}2b + a = -9 \\ ab = 10\end{cases}$
联立$\begin{cases}2b - 3a = 11 \\ 2b + a = -9\end{cases}$，
两式相减：$-4a = 20$，解得$a = -5$，
代入$2b + a = -9$：$2b - 5 = -9$，解得$b = -2$。
(2) 正确式子为$(2x - 5)(3x - 2)$，展开得：
$6x^2 - 4x - 15x + 10 = 6x^2 - 19x + 10$
(1) $a = -5$，$b = -2$；
(2) $6x^2 - 19x + 10$
