1. 用无刻度的直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是 ()

D

2. 如图,已知线段 $ AB = 6 $,利用尺规作线段 $ AB $ 的垂直平分线,步骤如下:分别以点 $ A,B $ 为圆心,以 $ m $ 长为半径作弧,两弧相交于点 $ C $ 和点 $ D $,作直线 $ CD $,直线 $ CD $ 就是线段 $ AB $ 的垂直平分线,则 $ m $ 的值可能是 ()

A.1
B.2
C.3

D.4

D

根据垂直平分线的作法，要求两弧相交，需满足$m$大于$AB$长度的一半，即$m ＞ \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$。
选项中只有$m = 4$满足$m ＞ 3$。

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 6 $,$ BC = 4 $,分别以点 $ A,B $ 为圆心,大于 $ \frac{1}{2}AB $ 的长为半径作弧,两弧交于点 $ E,F $,作直线 $ EF $,交 $ AC $ 于点 $ D $,连接 $ BD $,则 $ \triangle BCD $ 的周长为 ()

A.7
B.8
C.10
D.12

C

根据题意，$EF$为线段$AB$的垂直平分线，所以$AD=BD$，
$\triangle BCD$的周长为$BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC$，
因为$AC = 6$，$BC = 4$，
所以$\triangle BCD$的周长为$10$。

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^\circ $,分别以点 $ A,C $ 为圆心,以大于 $ \frac{1}{2}AC $ 的长为半径作弧,两弧交于点 $ M,N $,作直线 $ MN $,交 $ AB $ 于点 $ D $,交 $ AC $ 于点 $ E $,连接 $ CD $.下列结论中错误的是 ()

A.$ AD = CD $
B.$ DE // BC $
C.$ CD = AC $
D.$ MN $ 垂直平分 $ AC $

C

1. 根据题意，$M$，$N$分别为以$A$，$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}AC$为半径的两弧交点，所以$MN$是线段$AC$的垂直平分线（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，且两点确定一条直线）。
所以$DE\bot AC$，且$AE = CE$，即选项D正确。
2. 在$\triangle AED$和$\triangle CED$中：
$\begin{cases}AE = CE\\\angle AED=\angle CED = 90^{\circ}\\DE = DE\end{cases}$
根据$SAS$（边角边）可得$\triangle AED\cong\triangle CED$，则$AD = CD$，选项A正确。
3. 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DEC = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB=\angle DEC$。
根据同位角相等，两直线平行，可得$DE// BC$，选项B正确。
4. 对于选项C，仅根据已知条件无法得出$CD = AC$。