1. (1)如果分式$\frac{x - 1}{2x - y}$的值为0,那么$x$,$y$应满足的条件是()
A. $x \neq 1$,$y \neq 2$
B. $x \neq 1$,$y = 2$
C. $x = 1$,$y = 2$
D. $x = 1$,$y \neq 2$
(2)(2025·南充)已知分式$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 2}$的值为0,则$x$的值为。

(1)D；
(2)$-1$。

(1)分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0。
对于分式$\frac{x - 1}{2x - y}$，要使其值为0，则：
$x - 1 = 0$，得$x = 1$；
同时，$2x - y \neq 0$，将$x = 1$代入，得$y \neq 2$。
所以，$x$，$y$应满足的条件是$x = 1$且$y \neq 2$。
(2)对于分式$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x - 2}$，要使其值为0，则：
$x^{2} - 1 = 0$，解得$x = 1$或$x = -1$；
同时，$x^{2} + x - 2 \neq 0$，
因式分解得$(x-1)(x+2) \neq 0$，
所以$x \neq 1$且$x \neq -2$。
综合上述条件，只有$x = -1$满足。

2. 若式子$\frac{1}{|x| - 2}$在实数范围内有意义,则$x$的取值范围是。

$x \neq \pm 2$（或 $x$的取值范围是$x \neq \pm 2$）
（由于题目要求填空，按教材规范填写为 $x \neq \pm 2$）

要使式子$\frac{1}{|x| - 2}$在实数范围内有意义，需满足分母不为零，即$|x| - 2 \neq 0$。
解不等式$|x| - 2 \neq 0$，得$|x| \neq 2$，即$x \neq \pm 2$。

3. 若分式$\frac{2x^{2}}{x - y}$的值为8,则$x$,$y$都扩大为原来的2倍后,所得分式的值是。

32

原分式为$\frac{2x^{2}}{x - y}=8$。当$x$，$y$都扩大为原来的2倍后，新分式为$\frac{2(2x)^{2}}{2x - 2y}=\frac{2×4x^{2}}{2(x - y)}=\frac{8x^{2}}{2(x - y)}=4×\frac{2x^{2}}{x - y}$。因为$\frac{2x^{2}}{x - y}=8$，所以新分式的值为$4×8=32$。

4. 我国古代数学家祖冲之推算出$\pi的近似值为\frac{355}{113}$,它与$\pi$的误差小于0.0000003。将0.0000003用科学记数法可以表示为()
A.$3 × 10^{-7}$
B.$0.3 × 10^{-4}$
C.$3 × 10^{-4}$
D.$3 × 10^{7}$

A

0.0000003是一个小于1的正数，将其用科学记数法表示，形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数。这里$a=3$，原数左边起第一个不为零的数字3前面有7个0，所以$n=7$，即$0.0000003=3×10^{-7}$。

5. 计算$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$的结果等于()
A.$-1$
B.$x - 1$
C.$\frac{1}{x + 1}$
D.$\frac{1}{x^{2} - 1}$

C

原式：$\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x^{2} - 1}$，
因为$x^{2} - 1 = (x + 1)(x - 1)$，
所以可以将第一项的分母乘以$(x + 1)$，使其与第二项的分母相同，即：
$\frac{1}{x - 1} × \frac{x + 1}{x + 1} = \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}$，
第二项保持不变，即：
$\frac{2}{(x + 1)(x - 1)}$，
现在两项有了相同的分母，可以进行相减：
$\frac{x + 1 - 2}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)}$，
因为$(x - 1)$在分子和分母中都有，所以可以约去，得到：
$\frac{1}{x + 1}$。

6. 计算：$(\pi - 3.14)^{0} + (-2025)^{-1} = $。

$\frac{2024}{2025}$（或填（带分数等其他等价形式，根据要求这里填普通分数形式对应的判断）由于是填空题直接填$\frac{2024}{2025}$ 。

根据零指数幂的性质，任何非零数的零次幂都等于$1$，即$a^{0} = 1$（$a \neq 0$），所以$(\pi - 3.14)^{0} = 1$。
根据负整数指数幂的性质，$a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}$（$a \neq 0$，$p$为正整数），所以$(-2025)^{-1} = \frac{1}{-2025}=-\frac{1}{2025}$。
将上述两个结果相加可得：$(\pi - 3.14)^{0} + (-2025)^{-1}=1 + (-\frac{1}{2025})=\frac{2024}{2025}$。

7. (1)已知$\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$,则$\frac{a + 2b}{2a} = $。
(2)已知$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$,且$a \neq -b$,则$\frac{ab - a}{a + b}$的值为。
(3)已知$x - y = 2xy$,则$\frac{2x - xy - 2y}{3x + xy - 3y}$的值为。

【解析】：
(1) 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$，设 $a = 2k$，$b = 3k$（$k \neq 0$）。
代入表达式：
$\frac{a + 2b}{2a} = \frac{2k + 2 × 3k}{2 × 2k} = \frac{2k + 6k}{4k} = \frac{8k}{4k} = 2$。
故答案为 $2$ 的（化简后实际为 $\frac{4}{2}=2$ 的计算正确，但原式直接计算应为 $\frac{8k}{4k}=2$）。
(2) 已知 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$，通分得：
$\frac{b + 2a}{ab} = 1 \implies b + 2a = ab$。
目标式：
$\frac{ab - a}{a + b} = \frac{a(b - 1)}{a + b}$。
由 $b + 2a = ab$，得 $ab - a = b + 2a - a = a + b$，代入得：
$\frac{a + b}{a + b} = 1$。
故答案为 $1$。
(3) 已知 $x - y = 2xy$，目标式分子分母同除以 $xy$（$x,y \neq 0$）：
$\frac{2x - xy - 2y}{3x + xy - 3y} = \frac{2(x - y) - xy}{3(x - y) + xy}$。
代入 $x - y = 2xy$：
分子：$2 × 2xy - xy = 4xy - xy = 3xy$，
分母：$3 × 2xy + xy = 6xy + xy = 7xy$，
故值为 $\frac{3xy}{7xy} = \frac{3}{7}$。
【答案】：
(1) $2$ 的（实际填 $\frac{4}{2}$ 简化后的 $2$ 对应答案位置，按题目要求直接给数值）对应规范答案填数字。
(2) $1$
(3) $\frac{3}{7}$（填分数形式）
按题目要求分点填答案（以题号序号对应）：
(1) 填 2
(2) 填 1
(3) 填 $\frac{3}{7}$ 的标准形式。
最终盒答案：
(1)【答案】：2
(2)【答案】：1
(3)【答案】：$\boxed{\dfrac{3}{7}}$

8. (2024·潍坊中考)(1)计算：$\sqrt[3]{-8} + (\frac{1}{2})^{-2} - | - 3|$；
(2)先化简,再求值：$(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) ÷ \frac{a + 2}{a - 1}$,其中$a = \sqrt{3} + 2$。

(1)
$\begin{aligned}&\sqrt[3]{- 8}+(\frac{1}{2})^{-2}-\vert - 3\vert\\=& - 2 + 4 - 3\\=& - 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(a + 1-\frac{3}{a - 1})÷\frac{a + 2}{a - 1}\\=&\frac{(a + 1)(a - 1)-3}{a - 1}×\frac{a - 1}{a + 2}\\=&\frac{a^{2}-1 - 3}{a + 2}\\=&\frac{a^{2}-4}{a + 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a + 2}\\=&a - 2\end{aligned}$
当$a=\sqrt{3}+2$时，
$a - 2=\sqrt{3}+2 - 2=\sqrt{3}$
综上，(1)的结果为$-1$；(2)化简结果为$a - 2$，值为$\sqrt{3}$。