1. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$E在\triangle ABC$外,$CE \perp AE于点E$,$CE = \frac{1}{2}BC$。求证：$\angle ACE = \angle B$。

证明：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC=1/2BC（等腰三角形三线合一），∠ADC=90°，∠B=∠ACB（等边对等角）.
∵CE=1/2BC，
∴DC=CE.
∵CE⊥AE，
∴∠AEC=90°.
在Rt△ADC和Rt△AEC中，
AC=AC（公共边），
DC=CE，
∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）.
∴∠ACD=∠ACE.
∵∠ACD=∠ACB=∠B，
∴∠ACE=∠B.

2. 如图所示,已知在等边三角形$ABC$中,$D是AC$的中点,$E是BC$延长线上的一点,且$CE = CD$,$DM \perp BC$,垂足为$M$。
(1)求$\angle E$的度数；
(2)求证：$M是BE$的中点。

(1) ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=180°-∠ACB=120°。
∵CE=CD，∴△CDE是等腰三角形，∠E=∠CDE。
∵∠E+∠CDE+∠ACE=180°，∴2∠E=180°-120°=60°，∴∠E=30°。
(2) 连接BD。
∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，∴BD平分∠ABC，∠DBC=30°。
由(1)知∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴BD=DE。
∵DM⊥BC，∴M是BE的中点（等腰三角形三线合一）。

3. 如图所示,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$D为BC$的中点,$DE \perp AC于点E$,$AE = 8$,求$CE$的长。

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连接AD。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。
∵D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠CAD=∠BAC/2=60°，∠ADC=90°。
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠CAD=30°，
∴AD=2AE=2×8=16（30°角所对直角边是斜边的一半）。
在Rt△ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=2×16=32（30°角所对直角边是斜边的一半）。
∴CE=AC-AE=32-8=24。

4. (2025·荔湾区)如图所示,在$\triangle ABC$中,$\angle A = \angle C = 15^{\circ}$,$AB = 5$,求$\triangle ABC$的面积。

过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D。
∵∠A=∠C=15°，∴∠B=180°-15°-15°=150°，BC=AB=5。
在Rt△CBD中，∠CBD=180°-∠B=30°，BC=5，∴CD=BC×1/2=5/2。
S△ABC=AB×CD÷2=5×(5/2)÷2=25/4。
答：△ABC的面积为25/4。

过点$ B $作$ BD \perp AC $交$ AC $延长线于点$ D $。
$\because \angle BAC = 15°$，$\angle BCA = 15°$，
$\therefore \angle ABC = 180° - 15° - 15° = 150°$，$AC = AB = 5$。
$\angle BAD = 15°$，在$ Rt\triangle ABD $中，$ BD = AB \cdot \sin 15° = 5 \sin 15° $。
$\sin 15° = \sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，
$\therefore BD = 5 × \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。
$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 5 × 5 × \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{25(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8} $。
$\frac{25(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$