1. (教材题变式)如图所示,在$\triangle ABC$中,$AE$,$BF$是角平分线,它们相交于点$O$.
(1)若$∠C = 72^{\circ}$,求$∠AOB$的度数；
(2)猜想$∠AOB的度数与∠C$的度数存在的数量关系,并说明理由.

(1)
因为$AE$，$BF$是角平分线，$\angle C = 72^{\circ}$，在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle C = 180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}$。
$\angle OAB+\angle OBA=\frac{1}{2}(\angle CAB + \angle CBA)=\frac{1}{2}×108^{\circ}=54^{\circ}$。
在$\triangle AOB$中，$\angle AOB = 180^{\circ}-(\angle OAB+\angle OBA)=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}$。
(2)
猜想：$\angle AOB = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$。
理由：
在$\triangle ABC$中，$\angle CAB+\angle CBA=180^{\circ}-\angle C$。
因为$AE$，$BF$是角平分线，所以$\angle OAB+\angle OBA=\frac{1}{2}(\angle CAB+\angle CBA)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C$。
在$\triangle AOB$中，$\angle AOB=180^{\circ}-(\angle OAB + \angle OBA)=180^{\circ}-(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle C)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$。
综上，答案为：(1)$126^{\circ}$；(2)$\angle AOB = 90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$，理由如上述。

2. 如图所示,$\triangle ABC的两个外角的平分线相交于点D$,若$∠BDC = 65^{\circ}$,求$∠A$的度数.

在△ABC中，设∠ABC的外角为∠CBE，∠ACB的外角为∠BCF，BD平分∠CBE，CD平分∠BCF。
1. ∵BD平分∠CBE，CD平分∠BCF，
∴∠CBD=∠CBE/2，∠BCD=∠BCF/2。
2. 在△BDC中，∠BDC=65°，
∴∠CBD+∠BCD=180°-∠BDC=180°-65°=115°，
∴∠CBE+∠BCF=2(∠CBD+∠BCD)=2×115°=230°。
3. ∵∠ABC+∠CBE=180°，∠ACB+∠BCF=180°，
∴∠ABC+∠ACB=360°-(∠CBE+∠BCF)=360°-230°=130°。
4. 在△ABC中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-130°=50°。
∠A=50°。

3. (1)如图①所示,在$\triangle ABC$中,$∠ABC与∠ACB的平分线相交于点D$,$BD与∠ACF的平分线相交于点E$,写出$∠A与∠E$之间的数量关系,并证明.
(2)如图②所示,在$\triangle ABC$中,设$∠A = x$,$∠ABC与∠ACD的平分线交于点A_1$,得$∠A_1$；$∠A_1BC与∠A_1CD的平分线相交于点A_2$,得$∠A_2$；…$$；$∠A_{2024}BC与∠A_{2024}CD的平分线相交于点A_{2025}$,得$∠A_{2025}$,则$∠A_{2025}的度数为\underline{\quad\quad}$(用含$x$的代数式表示).

(1)
设$\angle ABC = 2\alpha$，$\angle ACB = 2\beta$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，$CD$平分$\angle ACB$，所以$\angle DBC=\alpha$，$\angle DCB = \beta$。
又因为$CE$平分$\angle ACF$，$\angle ACF=\angle A+\angle ABC=\angle A + 2\alpha$，所以$\angle ECF=\frac{1}{2}\angle ACF=\frac{\angle A}{2}+\alpha$。
在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180^{\circ}-(\alpha+\beta)$。
因为$\angle ECF=\angle E+\angle EBC$，即$\frac{\angle A}{2}+\alpha=\angle E+\alpha$，所以$\angle E=\frac{1}{2}\angle A$。
(2)
在$\triangle ABC$中，$\angle A=x$，$\angle ABC + \angle ACB=180^{\circ}-x$。
因为$BA_1$平分$\angle ABC$，$CA_1$平分$\angle ACD$，$\angle ACD=\angle A+\angle ABC$。
$\angle A_1= \angle A_1CD-\angle A_1BC=\frac{1}{2}\angle ACD-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(\angle A+\angle ABC)-\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}\angle A=\frac{x}{2}$。
同理可得$\angle A_2=\frac{1}{2}\angle A_1=\frac{x}{2^2}$，$\cdots$，$\angle A_{n}=\frac{x}{2^n}$。
当$n = 2025$时，$\angle A_{2025}=\frac{x}{2^{2025}}$。
故答案为：(1)$\angle E=\frac{1}{2}\angle A$，证明见上述步骤；(2)$\frac{x}{2^{2025}}$。