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1. 因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的
把一个多项式化成几个整式的
积
的形式,这种式子的变形叫作这个多项式的因式分解,也叫作把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法
是互逆
的变形。答案
积，整式乘法，互逆
解析
根据因式分解的定义可知，把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因式分解与整式乘法是互逆的变形。
2. 提公因式法
(1)公因式：多项式的
(2)提公因式法：如果多项式的各项有
(1)公因式：多项式的
各项
都含有的相同
的因式。(2)提公因式法：如果多项式的各项有
公因式
,可以把这个公因式
提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的乘积
的形式,这种分解因式的方法叫作提公因式法。答案
(1)各项；相同
(2)公因式；公因式；乘积
(2)公因式；公因式；乘积
解析
（1）公因式：根据公因式的定义，公因式是多项式中各项都含有的相同因式，所以多项式的各项都含有的相同的因式。
（2）提公因式法：依据提公因式法的概念，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。
（2）提公因式法：依据提公因式法的概念，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。
【例1】 下列各式从左到右是因式分解的是(
A.$(y - 1)(y + 1) = y^{2} - 1$
B.$x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y) - 1$
C.$(x - 2)(x - 3) = (3 - x)(2 - x)$
D.$x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$
D
)A.$(y - 1)(y + 1) = y^{2} - 1$
B.$x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y) - 1$
C.$(x - 2)(x - 3) = (3 - x)(2 - x)$
D.$x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}$
答案
D
解析
A. 是一个整式乘法展开的形式，并不是因式分解，故A错误；
B. $x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y)$，原式右边多了-1，并不是因式分解，故B错误；
C. 只是改变了式子中因式的顺序和符号，并没有进行因式分解，故C错误；
D. 是将多项式 $x^{2} - 4x + 4$ 分解为因式 $(x - 2)^{2}$，属于因式分解，故D正确。
B. $x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y)$，原式右边多了-1，并不是因式分解，故B错误；
C. 只是改变了式子中因式的顺序和符号，并没有进行因式分解，故C错误；
D. 是将多项式 $x^{2} - 4x + 4$ 分解为因式 $(x - 2)^{2}$，属于因式分解，故D正确。
1. (2024·郴州)对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$,②$(x + 3)(x - 1) = x^{2} + 2x - 3$,从左到右的变形,表述正确的是(
A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是整式乘法,②是因式分解
D.①是因式分解,②是整式乘法
D
)A.都是因式分解
B.都是整式乘法
C.①是整式乘法,②是因式分解
D.①是因式分解,②是整式乘法
答案
D
解析
本题可根据因式分解和整式乘法的定义来判断①②分别属于哪种变形。
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
整式乘法的定义：是把一些整式相乘，化为一个多项式。
对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，是将多项式$x - 3xy$化成了$x$与$(1 - 3y)$这两个整式的积的形式，所以①是因式分解。
对于②$(x + 3)(x - 1) = x^{2} + 2x - 3$，是将$(x + 3)$与$(x - 1)$这两个整式相乘，化为了多项式$x^{2} + 2x - 3$，所以②是整式乘法。
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
整式乘法的定义：是把一些整式相乘，化为一个多项式。
对于①$x - 3xy = x(1 - 3y)$，是将多项式$x - 3xy$化成了$x$与$(1 - 3y)$这两个整式的积的形式，所以①是因式分解。
对于②$(x + 3)(x - 1) = x^{2} + 2x - 3$，是将$(x + 3)$与$(x - 1)$这两个整式相乘，化为了多项式$x^{2} + 2x - 3$，所以②是整式乘法。
2. (易错题)下列等式从左到右的变形是因式分解,且分解正确的是(
A.$(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$
B.$x^{2} - 1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$6x^{2}y^{2} = 2xy \cdot 3xy$
D.$x^{2} - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$
D
)A.$(x + 2)(x - 2) = x^{2} - 4$
B.$x^{2} - 1 = x(x - \frac{1}{x})$
C.$6x^{2}y^{2} = 2xy \cdot 3xy$
D.$x^{2} - 3x - 4 = (x + 1)(x - 4)$
答案
D
解析
A. 选项A是整式乘法，不是因式分解，所以A错误；
B. 选项B中，$x^{2} - 1$ 分解为 $x(x - \frac{1}{x})$ 是不正确的，因为因式分解后的式子不应该包含分式，所以B错误；
C. 选项C中，$6x^{2}y^{2}$ 和 $2xy \cdot 3xy$ 实际上是等价的，但这并不是因式分解的过程，而是单项式的变形，所以C错误；
D. 选项D中，$x^{2} - 3x - 4$ 分解为 $(x + 1)(x - 4)$ 是正确的，满足因式分解的定义，且分解正确。
B. 选项B中，$x^{2} - 1$ 分解为 $x(x - \frac{1}{x})$ 是不正确的，因为因式分解后的式子不应该包含分式，所以B错误；
C. 选项C中，$6x^{2}y^{2}$ 和 $2xy \cdot 3xy$ 实际上是等价的，但这并不是因式分解的过程，而是单项式的变形，所以C错误；
D. 选项D中，$x^{2} - 3x - 4$ 分解为 $(x + 1)(x - 4)$ 是正确的，满足因式分解的定义，且分解正确。
【例2】 把下列多项式写成整式的积的形式：
(1)$x^{2} - 2x = $
(2)$2x - 4 = $
(3)$ma + mb + mc = $
(1)$x^{2} - 2x = $
$x(x - 2)$
；(2)$2x - 4 = $
$2(x - 2)$
；(3)$ma + mb + mc = $
$m(a + b + c)$
。答案
(1)$x(x - 2)$；
(2)$2(x - 2)$；
(3)$m(a + b + c)$。
(2)$2(x - 2)$；
(3)$m(a + b + c)$。
解析
(1) 对于 $x^{2} - 2x$，观察发现两项都含有 $x$，因此可以提取公因式 $x$，得到：$x^{2} - 2x = x(x - 2)$；
(2) 对于 $2x - 4$，观察发现两项都可以被 2 整除，因此可以提取公因式 2，得到：$2x - 4 = 2(x - 2)$；
(3) 对于 $ma + mb + mc$，观察发现三项都含有 $m$，因此可以提取公因式 $m$，得到：$ma + mb + mc = m(a + b + c)$。
(2) 对于 $2x - 4$，观察发现两项都可以被 2 整除，因此可以提取公因式 2，得到：$2x - 4 = 2(x - 2)$；
(3) 对于 $ma + mb + mc$，观察发现三项都含有 $m$，因此可以提取公因式 $m$，得到：$ma + mb + mc = m(a + b + c)$。
3. 下列各组中的两个代数式,没有公因式的一组是(
A.$5x和xy^{5}$
B.$3y和5y^{2}$
C.$5x和6y$
D.$5x和15y$
C
)A.$5x和xy^{5}$
B.$3y和5y^{2}$
C.$5x和6y$
D.$5x和15y$
答案
C
解析
A. 对于 $5x$ 和 $xy^{5}$，可以提取公因式 $x$，故本选项错误；
B. 对于 $3y$ 和 $5y^{2}$，可以提取公因式 $y$，故本选项错误；
C. 对于 $5x$ 和 $6y$，没有公因式，故本选项正确；
D. 对于 $5x$ 和 $15y$，可以提取公因式 $5$（虽然提取后并不使式子变得更简单，但仍然存在公因式），故本选项错误。
B. 对于 $3y$ 和 $5y^{2}$，可以提取公因式 $y$，故本选项错误；
C. 对于 $5x$ 和 $6y$，没有公因式，故本选项正确；
D. 对于 $5x$ 和 $15y$，可以提取公因式 $5$（虽然提取后并不使式子变得更简单，但仍然存在公因式），故本选项错误。
