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9.《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍,其中有一道题:“今有木,不知长短.引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳度之,不足一尺.木长几何?”意思是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长x尺,绳子长y尺,则可以列出的方程组为 ()
A.$\{\begin{array}{l} y-x=4.5,\\ x-0.5y=1\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l} y-x=4.5,\\ x+0.5y=1\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l} x+y=4.5,\\ x-y=1\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l} x+y=4.5,\\ y-x=1\end{array} $
A.$\{\begin{array}{l} y-x=4.5,\\ x-0.5y=1\end{array} $
B.$\{\begin{array}{l} y-x=4.5,\\ x+0.5y=1\end{array} $
C.$\{\begin{array}{l} x+y=4.5,\\ x-y=1\end{array} $
D.$\{\begin{array}{l} x+y=4.5,\\ y-x=1\end{array} $
答案
A
解析
设木长x尺，绳子长y尺。
1. 用绳子量长木，绳子剩余4.5尺，可得方程：$y - x = 4.5$；
2. 将绳子对折后量长木，长木剩余1尺，对折后绳子长度为$0.5y$，可得方程：$x - 0.5y = 1$；
综上，列出的方程组为选项A中的方程组。
1. 用绳子量长木，绳子剩余4.5尺，可得方程：$y - x = 4.5$；
2. 将绳子对折后量长木，长木剩余1尺，对折后绳子长度为$0.5y$，可得方程：$x - 0.5y = 1$；
综上，列出的方程组为选项A中的方程组。
10. 如图,宽为50 cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成,其中一个小长方形的面积为 ()
A.$400\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$500\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$600\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$300\ \mathrm{cm}^{2}$
A.$400\ \mathrm{cm}^{2}$
B.$500\ \mathrm{cm}^{2}$
C.$600\ \mathrm{cm}^{2}$
D.$300\ \mathrm{cm}^{2}$
答案
A
解析
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。根据图形信息列方程组：
$\begin{cases}x + y = 50\\x = 4y\end{cases}$
将$x = 4y$代入$x + y = 50$，得$4y + y = 50$，解得$y = 10$，则$x = 4×10 = 40$。
小长方形的面积为$40×10 = 400\ \mathrm{cm}^2$。
$\begin{cases}x + y = 50\\x = 4y\end{cases}$
将$x = 4y$代入$x + y = 50$，得$4y + y = 50$，解得$y = 10$，则$x = 4×10 = 40$。
小长方形的面积为$40×10 = 400\ \mathrm{cm}^2$。
二、填空题(每空3分,共18分)
11. 写出一个解为$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array} $的二元一次方程组: ______
11. 写出一个解为$\{\begin{array}{l} x=3,\\ y=-2\end{array} $的二元一次方程组: ______
答案
解：
$\because 3 + (-2) = 1$，$3 - (-2) = 5$
$\therefore$ 所求二元一次方程组为$\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y=5\end{array}$
$\because 3 + (-2) = 1$，$3 - (-2) = 5$
$\therefore$ 所求二元一次方程组为$\{\begin{array}{l} x+y=1,\\ x-y=5\end{array}$
12. 已知$\{\begin{array}{l} x=2,\\ y=1\end{array} $是二元一次方程组$\{\begin{array}{l} ax+by=7,\\ ax-by=1\end{array} $的解,则$a-b$的值为 ______
答案
-1
解析
将$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$代入方程组$\begin{cases} ax+by=7 \\ ax-by=1 \end{cases}$，得$\begin{cases} 2a + b = 7 ① \\ 2a - b = 1 ② \end{cases}$；
①+②得：$4a=8$，解得$a=2$；
将$a=2$代入①得：$2×2 + b=7$，解得$b=3$；
则$a-b=2-3=-1$。
①+②得：$4a=8$，解得$a=2$；
将$a=2$代入①得：$2×2 + b=7$，解得$b=3$；
则$a-b=2-3=-1$。
13. 小明问数学老师的年龄,数学老师微笑着说:"我像你这么大的时候,你刚好3岁;你到我这么大时,我就42岁了."那么数学老师今年的年龄是岁.
答案
29
解析
设数学老师今年$x$岁，小明今年$y$岁，两人年龄差始终不变，为$x-y$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - y = y - 3 \\ x - y = 42 - x\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}x - 2y = -3 \\ 2x - y = 42\end{cases}$
由第二个方程得$y=2x-42$，代入第一个方程：
$x - 2(2x-42) = -3$
$x - 4x + 84 = -3$
$-3x = -87$
解得$x=29$。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x - y = y - 3 \\ x - y = 42 - x\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}x - 2y = -3 \\ 2x - y = 42\end{cases}$
由第二个方程得$y=2x-42$，代入第一个方程：
$x - 2(2x-42) = -3$
$x - 4x + 84 = -3$
$-3x = -87$
解得$x=29$。
14. 一个两位数,个位数字与十位数字的和是9,如果把个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9,则原来的两位数为
答案
45
解析
设原来两位数的十位数字为x，则个位数字为9-x。
原数可表示为$10x + (9 - x)$，对调后的新数可表示为$10(9 - x) + x$。
根据题意列方程：
$10(9 - x) + x - [10x + (9 - x)] = 9$
化简方程：
$90 - 10x + x - 10x - 9 + x = 9$
$81 - 18x = 9$
解得$x = 4$，则个位数字为$9 - 4 = 5$。
故原来的两位数为45。
原数可表示为$10x + (9 - x)$，对调后的新数可表示为$10(9 - x) + x$。
根据题意列方程：
$10(9 - x) + x - [10x + (9 - x)] = 9$
化简方程：
$90 - 10x + x - 10x - 9 + x = 9$
$81 - 18x = 9$
解得$x = 4$，则个位数字为$9 - 4 = 5$。
故原来的两位数为45。
15. 首届“安海校园杯”足球赛火热进行中,足球是用黑白两种颜色的皮块缝制而成,如图所示,黑色皮块是正五边形,白色皮块是正六边形.一般一个足球上共有黑白皮块共32块.请你计算一下:黑色皮块有块,白色皮块有块.
答案
12；20
解析
设黑色皮块有$x$块，白色皮块有$y$块。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 32 \\5x = 3y\end{cases}$
由$5x=3y$得$y=\frac{5}{3}x$，代入$x+y=32$，得：
$x+\frac{5}{3}x=32$，解得$x=12$。
将$x=12$代入$x+y=32$，得$y=20$。
即黑色皮块有12块，白色皮块有20块。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x + y = 32 \\5x = 3y\end{cases}$
由$5x=3y$得$y=\frac{5}{3}x$，代入$x+y=32$，得：
$x+\frac{5}{3}x=32$，解得$x=12$。
将$x=12$代入$x+y=32$，得$y=20$。
即黑色皮块有12块，白色皮块有20块。
三、解答题(共72分)
16.(10分)解方程组:
(1)$\{\begin{array}{l} x-2y=3,\\ 3x+y=2;\end{array} $ (2)$\{\begin{array}{l} 2x-3y=5,\\ \frac {x}{2}-\frac {x-y}{3}=1.\end{array} $
16.(10分)解方程组:
(1)$\{\begin{array}{l} x-2y=3,\\ 3x+y=2;\end{array} $ (2)$\{\begin{array}{l} 2x-3y=5,\\ \frac {x}{2}-\frac {x-y}{3}=1.\end{array} $
答案
解：(1) $\begin{cases} x - 2y = 3 & ① \\ 3x + y = 2 & ② \end{cases}$
②×2得：$6x + 2y = 4$ ③
①+③得：$7x = 7$，解得$x = 1$
把$x=1$代入②得：$3×1 + y = 2$，解得$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 5 & ① \\ \frac{x}{2} - \frac{x - y}{3} = 1 & ② \end{cases}$
②×6去分母得：$3x - 2(x - y) = 6$
去括号得：$3x - 2x + 2y = 6$
整理得：$x + 2y = 6$ ③
由③得：$x = 6 - 2y$ ④
把④代入①得：$2(6 - 2y) - 3y = 5$
去括号得：$12 - 4y - 3y = 5$
合并同类项得：$12 - 7y = 5$
移项得：$-7y = 5 - 12$，即$-7y = -7$
解得：$y = 1$
把$y=1$代入④得：$x = 6 - 2×1 = 4$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$
②×2得：$6x + 2y = 4$ ③
①+③得：$7x = 7$，解得$x = 1$
把$x=1$代入②得：$3×1 + y = 2$，解得$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=-1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 5 & ① \\ \frac{x}{2} - \frac{x - y}{3} = 1 & ② \end{cases}$
②×6去分母得：$3x - 2(x - y) = 6$
去括号得：$3x - 2x + 2y = 6$
整理得：$x + 2y = 6$ ③
由③得：$x = 6 - 2y$ ④
把④代入①得：$2(6 - 2y) - 3y = 5$
去括号得：$12 - 4y - 3y = 5$
合并同类项得：$12 - 7y = 5$
移项得：$-7y = 5 - 12$，即$-7y = -7$
解得：$y = 1$
把$y=1$代入④得：$x = 6 - 2×1 = 4$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$
