登录
三、解答题
7. 如图所示，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$DE$ 垂直平分 $BC$，垂足为点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，且 $AF = CE$.求证：四边形 $ACEF$ 是菱形.
7. 如图所示，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，$DE$ 垂直平分 $BC$，垂足为点 $D$，交 $AB$ 于点 $E$，点 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，且 $AF = CE$.求证：四边形 $ACEF$ 是菱形.
答案
7. 提示：可证 $ DE // AC $，则点 $ E $ 是 $ AB $ 的中点，得 $ CE = AE = AC $。又由 $ AF = CE $，$ ∠ BAC = 60^{\circ} $，可证 $ CE = AC = AF = EF $，故四边形 $ ACEF $ 是菱形
解析
证明：
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠BAC=60^{\circ}$，
∴$∠B=30^{\circ}$，$AC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边等于斜边的一半）。
∵$DE$垂直平分$BC$，
∴$DB=DC$，$DE⊥BC$。
又
∵$∠ACB=90^{\circ}$，
∴$DE// AC$（垂直于同一直线的两直线平行），
∴$E$为$AB$中点（平行线分线段成比例），
∴$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴$CE=AC$（等量代换）。
∵$∠BAC=60^{\circ}$，$AE=AC$，
∴$△ACE$是等边三角形，
∴$CE=AC=AE$，$∠ACE=60^{\circ}$。
∵$DE// AC$，
∴$∠FEA=∠BAC=60^{\circ}$。
∵$AF=CE$，$CE=AE$，
∴$AF=AE$，
∴$△AEF$是等边三角形（有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），
∴$AF=EF=AE$，
∴$AC=CE=EF=AF$，
∴四边形$ACEF$是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
∵在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠BAC=60^{\circ}$，
∴$∠B=30^{\circ}$，$AC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中$30^{\circ}$角所对直角边等于斜边的一半）。
∵$DE$垂直平分$BC$，
∴$DB=DC$，$DE⊥BC$。
又
∵$∠ACB=90^{\circ}$，
∴$DE// AC$（垂直于同一直线的两直线平行），
∴$E$为$AB$中点（平行线分线段成比例），
∴$CE=AE=BE=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴$CE=AC$（等量代换）。
∵$∠BAC=60^{\circ}$，$AE=AC$，
∴$△ACE$是等边三角形，
∴$CE=AC=AE$，$∠ACE=60^{\circ}$。
∵$DE// AC$，
∴$∠FEA=∠BAC=60^{\circ}$。
∵$AF=CE$，$CE=AE$，
∴$AF=AE$，
∴$△AEF$是等边三角形（有一个角为$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），
∴$AF=EF=AE$，
∴$AC=CE=EF=AF$，
∴四边形$ACEF$是菱形（四边相等的四边形是菱形）。
8. 如图所示，在矩形 $ABCD$ 中，$AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE // BD$，$BE // AC$.
(1) 求证：四边形 $AEBO$ 是菱形；
(2) 若 $AB = 2$，$OB = 3$，求 $AD$ 的长及四边形 $AEBO$ 的面积.
(1) 求证：四边形 $AEBO$ 是菱形；
(2) 若 $AB = 2$，$OB = 3$，求 $AD$ 的长及四边形 $AEBO$ 的面积.
答案
8. (1) 提示：先通过两组平行线段证得四边形 $ AEBO $ 是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且互相平分，得 $ AO = BO $，故四边形 $ AEBO $ 为菱形 (2) $ AD = 4\sqrt{2} $，菱形 $ AEBO $ 的面积为 $ 4\sqrt{2} $
解析
(1) 证明：因为 $AE // BD$，$BE // AC$，所以四边形 $AEBO$ 是平行四边形。
由于四边形 $ABCD$ 是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，所以 $AO = \frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$，且 $AC = BD$，因此 $AO = BO$。
故平行四边形 $AEBO$ 是菱形。
(2) 因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AC = 2OB = 6$（矩形对角线互相平分）。
在 $Rt△ ABC$ 中，$AB = 2$，$AC = 6$，根据勾股定理：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
因为 $AD = BC$（矩形对边相等），所以 $AD = 4\sqrt{2}$。
菱形 $AEBO$ 的面积等于 $△ AOB$ 面积的 2 倍。
$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$，
因为 $O$ 是 $AC$ 中点，所以 $△ AOB$ 的面积为 $\frac{1}{2} × △ ABC$ 的面积 $= 2\sqrt{2}$，
故菱形 $AEBO$ 的面积为 $2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
综上，$AD = 4\sqrt{2}$，菱形 $AEBO$ 的面积为 $4\sqrt{2}$。
由于四边形 $ABCD$ 是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，所以 $AO = \frac{1}{2}AC$，$BO = \frac{1}{2}BD$，且 $AC = BD$，因此 $AO = BO$。
故平行四边形 $AEBO$ 是菱形。
(2) 因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AC = 2OB = 6$（矩形对角线互相平分）。
在 $Rt△ ABC$ 中，$AB = 2$，$AC = 6$，根据勾股定理：
$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
因为 $AD = BC$（矩形对边相等），所以 $AD = 4\sqrt{2}$。
菱形 $AEBO$ 的面积等于 $△ AOB$ 面积的 2 倍。
$△ ABC$ 的面积为 $\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 2 × 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$，
因为 $O$ 是 $AC$ 中点，所以 $△ AOB$ 的面积为 $\frac{1}{2} × △ ABC$ 的面积 $= 2\sqrt{2}$，
故菱形 $AEBO$ 的面积为 $2 × 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
综上，$AD = 4\sqrt{2}$，菱形 $AEBO$ 的面积为 $4\sqrt{2}$。
9. 如图所示，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$，$CE ⊥ AB$ 交 $AD$ 于点 $F$，交 $AB$ 于点 $E$，$DH ⊥ AB$ 于点 $H$.求证：
(1) $CD = CF$；
(2) 四边形 $CDHF$ 是菱形.
(1) $CD = CF$；
(2) 四边形 $CDHF$ 是菱形.
答案
9. 提示：(1) 可证明 $ △ ACD ≌ △ AHD $，$ CF // DH $，再利用 $ ∠ CFD = ∠ FDH = ∠ FDC $ 证明 $ CD = CF $ (2) 可由 $ CF = CD = DH $，$ CF // DH $，证明四边形 $ CDHF $ 是平行四边形，又一组邻边相等，故四边形 $ CDHF $ 是菱形
解析
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DH⊥AB，
∴CD=DH，∠CAD=∠HAD。
∵CE⊥AB，DH⊥AB，
∴CE//DH，
∴∠CFD=∠FDH。
在Rt△ACD和Rt△AHD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD\\ CD=DH\end{array} $，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴∠CDA=∠HDA。
∵∠FDH=∠HDA，∠CFD=∠FDH，∠CDA=∠HDA，
∴∠CFD=∠CDA，
∴CD=CF。
(2) 证明：
∵CD=CF，CD=DH，
∴CF=DH。
∵CE//DH，
∴四边形CDHF是平行四边形。
∵CD=CF，
∴平行四边形CDHF是菱形。
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DH⊥AB，
∴CD=DH，∠CAD=∠HAD。
∵CE⊥AB，DH⊥AB，
∴CE//DH，
∴∠CFD=∠FDH。
在Rt△ACD和Rt△AHD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD\\ CD=DH\end{array} $，
∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），
∴∠CDA=∠HDA。
∵∠FDH=∠HDA，∠CFD=∠FDH，∠CDA=∠HDA，
∴∠CFD=∠CDA，
∴CD=CF。
(2) 证明：
∵CD=CF，CD=DH，
∴CF=DH。
∵CE//DH，
∴四边形CDHF是平行四边形。
∵CD=CF，
∴平行四边形CDHF是菱形。
