例 2
已知关于$x$，$y$的方程组$\{\begin{array}{l}x - 2y = m,①\\2x + 3y = 2m + 4②\end{array} $的解满足不等式组$\{\begin{array}{l}3x + y ＜ 0,\\x + 5y ＞ 0,\end{array} $求满足条件的$m$的整数值。

【点拨】首先根据方程组可得$\{\begin{array}{l}3m + 4 ＜ 0,\\m + 4 ＞ 0,\end{array} $再解此不等式组，即可确定出整数解。
【解】①+②，得$3x + y = 3m + 4$。
②-①，得$x + 5y = m + 4$。
由不等式组$\{\begin{array}{l}3x + y ＜ 0,\\x + 5y ＞ 0,\end{array} $得
$\{\begin{array}{l}3m + 4 ＜ 0,\\m + 4 ＞ 0。\end{array} $
解此不等式组，得$-4 ＜ m ＜ -\frac{4}{3}$，
则$m = - 3$，$- 2$。

【变式训练 2】
已知关于$x$，$y$的方程组$\{\begin{array}{l}x - 2y = m,\\2x + 3y = 2m - 4\end{array} $的解满足不等式组$\{\begin{array}{l}3x - y ≥ 0,\\x + 5y ＜ 0,\end{array} $求满足条件的$m$的整数值。

解：$ \begin{cases} x - 2y = m, ① \\ 2x + 3y = 2m - 4。② \end{cases} $
① $ × 2 $，得 $ 2x - 4y = 2m $。③
② - ③，得 $ 7y = -4 $，所以 $ y = -\frac{4}{7} $。
把 $ y = -\frac{4}{7} $ 代入①，得 $ x = m - \frac{8}{7} $。
所以 $ \begin{cases} x = m - \frac{8}{7}, \\ y = -\frac{4}{7}。 \end{cases} $
将 $ \begin{cases} x = m - \frac{8}{7}, \\ y = -\frac{4}{7} \end{cases} $ 代入不等式组，得
$ \begin{cases} 3m - \frac{24}{7} + \frac{4}{7} ≥ 0, \\ m - \frac{8}{7} - \frac{20}{7} ＜ 0, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 3m - \frac{20}{7} ≥ 0, \\ m - 4 ＜ 0。 \end{cases} $
解得 $ \frac{20}{21} ≤ m ＜ 4 $，
故 $ m $ 的整数值为 $ 1,2,3 $。

1. 不等式组$\{\begin{array}{l}3(x + 1) ＞ x - 1,\frac{x + 7}{2} ＞ 2x - 1\end{array} $的非负整数解的个数是( )

A.3
B.4
C.5
D.6

1. A

解：解不等式$3(x + 1)＞x - 1$，
$3x + 3＞x - 1$，
$3x - x＞ - 1 - 3$，
$2x＞ - 4$，
$x＞ - 2$；
解不等式$\frac{x + 7}{2}＞2x - 1$，
$x + 7＞4x - 2$，
$x - 4x＞ - 2 - 7$，
$- 3x＞ - 9$，
$x＜3$；
则不等式组的解集为$- 2＜x＜3$，非负整数解为$0$，$1$，$2$，共$3$个。
A

2. 已知不等式组$\{\begin{array}{l}x - a ＞ 0,\\-2x ＞ -4\end{array} $有解，则$a$的取值范围为( )

A.$a ＞ - 2$
B.$a ≥ - 2$
C.$a ＜ 2$
D.$a ≤ 2$

2. C

解不等式组：
1. 解$x - a ＞ 0$，得$x ＞ a$；
2. 解$-2x ＞ -4$，两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得$x ＜ 2$。
因为不等式组有解，所以$a ＜ 2$。
C

3. 已知关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}5x ＞ 3x + 2,\\2x ≤ 8 + 2a\end{array} $有且只有 4 个整数解，则$a$的取值范围是( )

A.$1 ＜ a ≤ 2$
B.$a ＞ 2$
C.$a ＜ 1$
D.$1 ≤ a ＜ 2$

3. D

解不等式组：
1. 解$5x ＞ 3x + 2$，得$2x ＞ 2$，即$x ＞ 1$。
2. 解$2x ≤ 8 + 2a$，得$x ≤ 4 + a$。
不等式组的解集为$1 ＜ x ≤ 4 + a$。
因为不等式组有且只有4个整数解，整数解为2，3，4，5，所以$5 ≤ 4 + a ＜ 6$，解得$1 ≤ a ＜ 2$。
D

4. 已知线段 3，3，$m$能构成三角形，则使关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}x ＞ m - 6,\\-3x + 8 ≥ 3m - 4\end{array} $有解的所有整数$m$的和为 ______ 。

4. 10

由三角形三边关系得：$3 - 3 ＜ m ＜ 3 + 3$，即$0 ＜ m ＜ 6$。
解不等式组：
$\begin{cases}x ＞ m - 6 \\ -3x + 8 ≥ 3m - 4\end{cases}$
解第二个不等式：$-3x ≥ 3m - 12$，$x ≤ -m + 4$。
不等式组有解，则$m - 6 ＜ -m + 4$，解得$m ＜ 5$。
综上，$0 ＜ m ＜ 5$，整数$m$为1，2，3，4。
和为$1 + 2 + 3 + 4 = 10$。
10

5. 若关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}x - a ＞ 2,\\x ＜ 1\end{array} $无解，则$a$的取值范围是 ______ 。

5. $ a ≥ -1 $

解不等式组：
$\begin{cases}x - a ＞ 2 \\x ＜ 1\end{cases}$
由$x - a ＞ 2$得$x ＞ a + 2$，
因为不等式组无解，所以$a + 2 ≥ 1$，
解得$a ≥ -1$。
$a ≥ -1$

6. 把一些书分给几名同学，如果每人分 3 本，那么余 6 本；如果每人分 5 本，那么最后一名同学不到 3 本。这些书有本，共有名同学。

6. 21 5

设共有$x$名同学，书有$y$本。
由题意得：$y = 3x + 6$
每人分5本时，最后一名同学不到3本，即$0 ≤ y - 5(x - 1) ＜ 3$
将$y = 3x + 6$代入不等式：
$0 ≤ 3x + 6 - 5(x - 1) ＜ 3$
$0 ≤ 3x + 6 - 5x + 5 ＜ 3$
$0 ≤ -2x + 11 ＜ 3$
$-11 ≤ -2x ＜ -8$
$4 ＜ x ≤ 5.5$
因为$x$为正整数，所以$x = 5$
$y = 3×5 + 6 = 21$
21；5