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1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,线段CD是由线段AB平移得到的,小颖不小心将墨汁滴到了点B上,已知A,C,D三点的坐标分别为(2,1),(4,2),(3,4),则点B的坐标为
(1, 3)
.答案
1. (1, 3)
解析
【分析】
解决本题首先要明确平移的性质：线段平移后，对应点的坐标变化规律完全相同，即两组对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量也相等。我们可以先计算出点C平移到点D的横、纵坐标变化量，再将这个变化量应用到点A上，即可求出点B的坐标。
【解析】
∵线段CD是由线段AB平移得到的
∴点C到点D的平移规律与点A到点B的平移规律完全相同
先计算C到D的坐标变化：
横坐标变化量：$3 - 4 = -1$（即横坐标减1）
纵坐标变化量：$4 - 2 = 2$（即纵坐标加2）
已知点A坐标为$(2,1)$，则点B的坐标为：
横坐标：$2 + (-1) = 1$
纵坐标：$1 + 2 = 3$
即点B坐标为$(1,3)$
【答案】
$(1,3)$
【知识点】
1. 平移的性质
2. 点的平移坐标变化规律
【点评】
本题是平移性质在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化规律一致，熟练掌握平移的坐标变化规则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确平移的性质：线段平移后，对应点的坐标变化规律完全相同，即两组对应点的横坐标变化量相等、纵坐标变化量也相等。我们可以先计算出点C平移到点D的横、纵坐标变化量，再将这个变化量应用到点A上，即可求出点B的坐标。
【解析】
∵线段CD是由线段AB平移得到的
∴点C到点D的平移规律与点A到点B的平移规律完全相同
先计算C到D的坐标变化：
横坐标变化量：$3 - 4 = -1$（即横坐标减1）
纵坐标变化量：$4 - 2 = 2$（即纵坐标加2）
已知点A坐标为$(2,1)$，则点B的坐标为：
横坐标：$2 + (-1) = 1$
纵坐标：$1 + 2 = 3$
即点B坐标为$(1,3)$
【答案】
$(1,3)$
【知识点】
1. 平移的性质
2. 点的平移坐标变化规律
【点评】
本题是平移性质在平面直角坐标系中的基础应用，解题核心是抓住平移前后对应点的坐标变化规律一致，熟练掌握平移的坐标变化规则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，函数$y_1=|x|$和$y_2=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$的图象相交于$(-1,1),(2,2)$两点，当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是
-1＜x＜2
。答案
2. -1＜x＜2
解析
【分析】
要确定$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，有两种常用思路：一是数形结合法，函数值的大小对应图象的上下位置关系，$y_1＜y_2$即$y_1$的图象在$y_2$图象下方的区域，结合已知的两个交点的横坐标，可直接判断对应$x$的范围；二是代数法，对$y_1=|x|$分$x≥0$和$x＜0$两种情况去绝对值，分别解不等式后合并解集即可。
【解析】
方法一：图象法
已知两函数交点的横坐标为$-1$和$2$，观察图象可得：
当$-1＜x＜2$时，$y_1=|x|$的图象位于$y_2=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$的图象下方，满足$y_1＜y_2$。
方法二：代数法
1. 当$x≥0$时，$y_1=x$，代入不等式$y_1＜y_2$得：
$\displaystyle x ＜ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
两边同乘3消去分母：$3x ＜ x + 4$
移项化简得：$2x ＜ 4$，即$x ＜ 2$
结合前提$x≥0$，得解集$0≤x＜2$。
2. 当$x＜0$时，$y_1=-x$，代入不等式$y_1＜y_2$得：
$\displaystyle -x ＜ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
两边同乘3消去分母：$-3x ＜ x + 4$
移项化简得：$-4x ＜ 4$，两边同除以$-4$（不等号方向改变），得$x ＞ -1$
结合前提$x＜0$，得解集$-1＜x＜0$。
综合两种情况的解集，最终$x$的取值范围是$-1＜x＜2$。
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
一次函数的图象；函数与不等式；绝对值化简
【点评】
本题既可以通过数形结合快速得到结果，也可以通过分类讨论去绝对值解不等式求解，核心是理解函数图象上下位置与函数值大小的对应关系，属于函数模块的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，有两种常用思路：一是数形结合法，函数值的大小对应图象的上下位置关系，$y_1＜y_2$即$y_1$的图象在$y_2$图象下方的区域，结合已知的两个交点的横坐标，可直接判断对应$x$的范围；二是代数法，对$y_1=|x|$分$x≥0$和$x＜0$两种情况去绝对值，分别解不等式后合并解集即可。
【解析】
方法一：图象法
已知两函数交点的横坐标为$-1$和$2$，观察图象可得：
当$-1＜x＜2$时，$y_1=|x|$的图象位于$y_2=\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}$的图象下方，满足$y_1＜y_2$。
方法二：代数法
1. 当$x≥0$时，$y_1=x$，代入不等式$y_1＜y_2$得：
$\displaystyle x ＜ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
两边同乘3消去分母：$3x ＜ x + 4$
移项化简得：$2x ＜ 4$，即$x ＜ 2$
结合前提$x≥0$，得解集$0≤x＜2$。
2. 当$x＜0$时，$y_1=-x$，代入不等式$y_1＜y_2$得：
$\displaystyle -x ＜ \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$
两边同乘3消去分母：$-3x ＜ x + 4$
移项化简得：$-4x ＜ 4$，两边同除以$-4$（不等号方向改变），得$x ＞ -1$
结合前提$x＜0$，得解集$-1＜x＜0$。
综合两种情况的解集，最终$x$的取值范围是$-1＜x＜2$。
【答案】
$-1＜x＜2$
【知识点】
一次函数的图象；函数与不等式；绝对值化简
【点评】
本题既可以通过数形结合快速得到结果，也可以通过分类讨论去绝对值解不等式求解，核心是理解函数图象上下位置与函数值大小的对应关系，属于函数模块的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 如图,四边形ABCD是平行四边形,其周长为20厘米,对角线AC,BD相交于点O,过点O作直线分别交AD,BC于点E,F,其中OE=1.5厘米,则四边形EFCD的周长为
13
厘米.答案
3. 13
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，再结合AD//BC得到内错角相等，证明△AOE和△COF全等，通过全等将CF转化为AE，OF转化为OE，即可把四边形EFCD的周长转化为平行四边形一组邻边的和加上EF的长度，结合已知条件计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=1.5厘米，
∴EF=OE+OF=1.5×2=3厘米，
∵平行四边形ABCD周长为20厘米，
∴AD+CD=20÷2=10厘米，
∴四边形EFCD的周长=EF+FC+CD+DE=EF+AE+CD+DE=EF+(AE+DE)+CD=EF+AD+CD=3+10=13厘米。
【答案】
13
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，周长计算
【点评】
本题是平行四边形的常考题型，解题的核心是通过证明全等三角形实现线段的等量转化，把未知周长转化为已知长度的线段和，能很好地考查学生对平行四边形性质的掌握和几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用平行四边形的性质：对边平行且相等、对角线互相平分，再结合AD//BC得到内错角相等，证明△AOE和△COF全等，通过全等将CF转化为AE，OF转化为OE，即可把四边形EFCD的周长转化为平行四边形一组邻边的和加上EF的长度，结合已知条件计算即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD//BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中：
$\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OCF \\OA=OC \\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=1.5厘米，
∴EF=OE+OF=1.5×2=3厘米，
∵平行四边形ABCD周长为20厘米，
∴AD+CD=20÷2=10厘米，
∴四边形EFCD的周长=EF+FC+CD+DE=EF+AE+CD+DE=EF+(AE+DE)+CD=EF+AD+CD=3+10=13厘米。
【答案】
13
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，周长计算
【点评】
本题是平行四边形的常考题型，解题的核心是通过证明全等三角形实现线段的等量转化，把未知周长转化为已知长度的线段和，能很好地考查学生对平行四边形性质的掌握和几何转化思想的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在等腰△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边中线AD向下平移,使点A的对应点A'满足$AA'=\frac{1}{3}AD$,则平移前后两三角形重叠部分的周长是
4+2√3
。答案
4. 4+2√3
解析
【分析】
解题思路如下：首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是△ABC底边上的高，结合顶角120°可得出底角为30°，利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD、BC的长度，得到原三角形的周长；再根据平移的性质，可知重叠部分的三角形与原△ABC相似，由AA'=$\frac{1}{3}AD$求出重叠部分三角形的高与原三角形高的比，即相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比，即可算出重叠部分的周长。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，AD是底边中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3√3，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3+3+3√3=6+3√3。
∵将△ABC沿AD平移，$AA'=\frac{1}{3}AD$，
∴$A'D=AD-AA'=\frac{2}{3}AD$，
由平移的性质可知，平移后对应边互相平行，
∴重叠部分的三角形与△ABC相似，相似比=$\frac{A'D}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴重叠部分的周长=△ABC的周长×相似比=$(6+3\sqrt{3})×\frac{2}{3}=4+2\sqrt{3}$。
【答案】
$4+2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，平移的性质，相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将等腰三角形、平移、相似三角形的知识点结合考查，解题的突破口是判断出重叠部分与原三角形相似，准确计算相似比即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先利用等腰三角形三线合一的性质，可知AD是△ABC底边上的高，结合顶角120°可得出底角为30°，利用30°直角三角形的性质和勾股定理求出AD、BC的长度，得到原三角形的周长；再根据平移的性质，可知重叠部分的三角形与原△ABC相似，由AA'=$\frac{1}{3}AD$求出重叠部分三角形的高与原三角形高的比，即相似比；最后根据相似三角形周长比等于相似比，即可算出重叠部分的周长。
【解析】
解：
∵在等腰△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，AD是底边中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=$\frac{180°-120°}{2}=30°$，
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$（30°角所对的直角边等于斜边的一半），
由勾股定理得：$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴BC=2BD=3√3，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=3+3+3√3=6+3√3。
∵将△ABC沿AD平移，$AA'=\frac{1}{3}AD$，
∴$A'D=AD-AA'=\frac{2}{3}AD$，
由平移的性质可知，平移后对应边互相平行，
∴重叠部分的三角形与△ABC相似，相似比=$\frac{A'D}{AD}=\frac{2}{3}$，
∴重叠部分的周长=△ABC的周长×相似比=$(6+3\sqrt{3})×\frac{2}{3}=4+2\sqrt{3}$。
【答案】
$4+2\sqrt{3}$
【知识点】
等腰三角形的性质，平移的性质，相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，将等腰三角形、平移、相似三角形的知识点结合考查，解题的突破口是判断出重叠部分与原三角形相似，准确计算相似比即可快速得到结果。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 解方程：$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2x+6}$
1. 解方程：$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2x+6}$
答案
解：
原方程整理为$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2(x+3)}$，
方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$，得：
$4x + 2(x+3) = 2$，
去括号，得：$4x + 2x + 6 = 2$，
移项、合并同类项，得：$6x = -4$，
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$。
检验：当$x=-\frac{2}{3}$时，$2(x+3)=\frac{14}{3}≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{2}{3}$。
原方程整理为$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2(x+3)}$，
方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$，得：
$4x + 2(x+3) = 2$，
去括号，得：$4x + 2x + 6 = 2$，
移项、合并同类项，得：$6x = -4$，
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$。
检验：当$x=-\frac{2}{3}$时，$2(x+3)=\frac{14}{3}≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
本题为分式方程求解问题，解题时首先对各分母因式分解，找到最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤求出未知数的值，最后必须代入最简公分母检验，确认所求值不是增根后才是原方程的解，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
解：原方程整理为$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2(x+3)}$，
方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$，得：
$4x + 2(x+3) = 2$，
去括号，得：$4x + 2x + 6 = 2$，
移项、合并同类项，得：$6x = -4$，
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$。
检验：当$x=-\frac{2}{3}$时，$2(x+3)=\frac{14}{3}≠0$，
所以原分式方程的解为$x = -\frac{2}{3}$。
【答案】
$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.整式方程的求解 3.分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项，以及忘记检验增根，掌握分式方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题为分式方程求解问题，解题时首先对各分母因式分解，找到最简公分母，通过方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程，再按照解整式方程的步骤求出未知数的值，最后必须代入最简公分母检验，确认所求值不是增根后才是原方程的解，注意去分母时不要漏乘不含分母的常数项。
【解析】
解：原方程整理为$\frac{2x}{x+3} + 1 = \frac{2}{2(x+3)}$，
方程两边同时乘最简公分母$2(x+3)$，得：
$4x + 2(x+3) = 2$，
去括号，得：$4x + 2x + 6 = 2$，
移项、合并同类项，得：$6x = -4$，
系数化为1，得：$x = -\frac{2}{3}$。
检验：当$x=-\frac{2}{3}$时，$2(x+3)=\frac{14}{3}≠0$，
所以原分式方程的解为$x = -\frac{2}{3}$。
【答案】
$x=-\frac{2}{3}$
【知识点】
1.分式方程的解法 2.整式方程的求解 3.分式方程的验根
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，解题的易错点在于去分母时漏乘常数项，以及忘记检验增根，掌握分式方程的求解步骤即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. 解不等式$\frac{1-x}{3} - x ＜ 3 - \frac{x+2}{4}$，并把解集表示在数轴上.
答案
解：
去分母，不等式两边同时乘12，得
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x+2)$
去括号，得
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
移项，得
$-4x -12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$
合并同类项，得
$-13x ＜ 26$
系数化为1，得
$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上找到表示-2的点，绘制空心圆圈，从该点出发向数轴正方向绘制射线，即为该不等式的解集。
去分母，不等式两边同时乘12，得
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x+2)$
去括号，得
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
移项，得
$-4x -12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$
合并同类项，得
$-13x ＜ 26$
系数化为1，得
$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上找到表示-2的点，绘制空心圆圈，从该点出发向数轴正方向绘制射线，即为该不等式的解集。
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式求解的题目，解题思路和一元一次方程解法步骤类似，按顺序操作即可：第一步先找分母3和4的最小公倍数12，不等式两边同时乘12去掉分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步按去括号法则去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；第三步移项，将含x的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；第四步合并同类项化简；第五步系数化为1时，注意两边同时除以负数，不等号方向要改变。最后在数轴上表示解集时，不含等号用空心圆圈，大于则向数轴正方向画线。
【解析】
去分母，不等式两边同时乘12，得
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x+2)$
去括号，得
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
移项，得
$-4x -12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$
合并同类项，得
$-13x ＜ 26$
系数化为1，得
$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上找到表示-2的点，绘制空心圆圈，从该点出发向数轴正方向绘制射线，即为该不等式的解集。
【答案】
不等式的解集为$\boldsymbol{x ＞ -2}$，数轴表示为：在数轴上-2的位置画空心圆圈，向右画射线。
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，解题过程中有两个常见易错点：一是去分母时容易漏乘没有分母的常数项，二是系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要记得改变；数轴表示解集时要准确区分空心圆圈和实心圆点的用法，以及射线延伸的方向，熟练掌握解题步骤就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次不等式求解的题目，解题思路和一元一次方程解法步骤类似，按顺序操作即可：第一步先找分母3和4的最小公倍数12，不等式两边同时乘12去掉分母，注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步按去括号法则去括号，括号前为负号时括号内各项要变号；第三步移项，将含x的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号；第四步合并同类项化简；第五步系数化为1时，注意两边同时除以负数，不等号方向要改变。最后在数轴上表示解集时，不含等号用空心圆圈，大于则向数轴正方向画线。
【解析】
去分母，不等式两边同时乘12，得
$4(1-x) - 12x ＜ 36 - 3(x+2)$
去括号，得
$4 - 4x - 12x ＜ 36 - 3x - 6$
移项，得
$-4x -12x + 3x ＜ 36 - 6 - 4$
合并同类项，得
$-13x ＜ 26$
系数化为1，得
$x ＞ -2$
数轴表示：在数轴上找到表示-2的点，绘制空心圆圈，从该点出发向数轴正方向绘制射线，即为该不等式的解集。
【答案】
不等式的解集为$\boldsymbol{x ＞ -2}$，数轴表示为：在数轴上-2的位置画空心圆圈，向右画射线。
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、解集的数轴表示
【点评】
本题是一元一次不等式求解的基础题型，解题过程中有两个常见易错点：一是去分母时容易漏乘没有分母的常数项，二是系数化为1时如果系数为负数，不等号方向要记得改变；数轴表示解集时要准确区分空心圆圈和实心圆点的用法，以及射线延伸的方向，熟练掌握解题步骤就能轻松解决这类问题。
【难度系数】
0.8
