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9.某次知识竞赛共有25道试题,评分标准如下:答对1题加4分,答错1题扣1分,不答记0分.已知李刚不答的题比答错的题多2道,且总分为74分,则他答对的题有 (
A.18道
B.19道
C.20道
D.21道
B
)A.18道
B.19道
C.20道
D.21道
答案
9.B
解析
【分析】
这是一道积分类一元一次方程应用题，解题时先梳理已知数量关系：总题数=答对题数+答错题数+不答题数，总得分=答对得分-答错扣分，且不答题数比答错题数多2道。我们可以先设答错题数为未知数，用未知数表示出不答题数和答对题数，再根据总分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设李刚答错的题有$x$道，则不答的题有$(x+2)$道，答对的题数为：
$25 - x - (x+2) = 23 - 2x$（道）
根据总分为74分列方程：
$4×(23 - 2x) - 1× x = 74$
展开计算：$92 - 8x - x = 74$
合并同类项：$92 - 9x = 74$
移项计算：$9x = 92 - 74 = 18$，解得$x=2$
则答对的题数为：$23 - 2×2 = 19$（道）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题计算；和差关系应用
【点评】
本题属于常见的竞赛积分类应用题，解题核心是找准题目中的数量关系和等量关系，合理设未知数后按照评分规则列方程即可，注意答错题目是扣分，不要误算为加分。
【难度系数】
0.7
这是一道积分类一元一次方程应用题，解题时先梳理已知数量关系：总题数=答对题数+答错题数+不答题数，总得分=答对得分-答错扣分，且不答题数比答错题数多2道。我们可以先设答错题数为未知数，用未知数表示出不答题数和答对题数，再根据总分的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设李刚答错的题有$x$道，则不答的题有$(x+2)$道，答对的题数为：
$25 - x - (x+2) = 23 - 2x$（道）
根据总分为74分列方程：
$4×(23 - 2x) - 1× x = 74$
展开计算：$92 - 8x - x = 74$
合并同类项：$92 - 9x = 74$
移项计算：$9x = 92 - 74 = 18$，解得$x=2$
则答对的题数为：$23 - 2×2 = 19$（道）
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程应用；积分问题计算；和差关系应用
【点评】
本题属于常见的竞赛积分类应用题，解题核心是找准题目中的数量关系和等量关系，合理设未知数后按照评分规则列方程即可，注意答错题目是扣分，不要误算为加分。
【难度系数】
0.7
10. 三元一次方程组$\begin{cases}2x=3y=6z, \\x+2y+z=16\end{cases}$的解是（ ）
答案
10.C
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：先处理第一个连等式形式的方程，将其拆分为两个等量关系，用同一个未知数表示另外两个未知数，再代入第二个方程，通过消元转化为一元一次方程求解，最后求出三个未知数的值；思路二：将各选项的数值分别代入两个方程，验证是否同时满足两个方程，即可选出正确答案。
【解析】
方法一：消元法
由$2x=3y=6z$可得：
$2x=6z$，化简得$x=3z$；
$3y=6z$，化简得$y=2z$。
将$x=3z$、$y=2z$代入$x+2y+z=16$中，得：
$3z + 2×2z + z = 16$
计算得$3z+4z+z=8z=16$，解得$z=2$。
将$z=2$分别代入$x=3z$、$y=2z$，得：
$x=3×2=6$，$y=2×2=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6\\y=4\\z=2\end{cases}$。
方法二：代入验证法
A选项：代入$2x=3y$，左边$=2×1=2$，右边$=3×3=9$，两边不相等，排除；
B选项：代入$2x=3y$，左边$=2×6=12$，右边$=3×3=9$，两边不相等，排除；
C选项：代入$2x=3y=6z$，$2×6=12$，$3×4=12$，$6×2=12$，等式成立；再代入$x+2y+z$，得$6+2×4+2=16$，等式成立，符合要求；
D选项：代入$2x=3y$，左边$=2×4=8$，右边$=3×5=15$，两边不相等，排除。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题解题的关键是利用连等式的特点，用一个未知数表示其余未知数实现消元，或者采用代入验证的方法快速得出结果，侧重对基础消元思想的考查。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：思路一：先处理第一个连等式形式的方程，将其拆分为两个等量关系，用同一个未知数表示另外两个未知数，再代入第二个方程，通过消元转化为一元一次方程求解，最后求出三个未知数的值；思路二：将各选项的数值分别代入两个方程，验证是否同时满足两个方程，即可选出正确答案。
【解析】
方法一：消元法
由$2x=3y=6z$可得：
$2x=6z$，化简得$x=3z$；
$3y=6z$，化简得$y=2z$。
将$x=3z$、$y=2z$代入$x+2y+z=16$中，得：
$3z + 2×2z + z = 16$
计算得$3z+4z+z=8z=16$，解得$z=2$。
将$z=2$分别代入$x=3z$、$y=2z$，得：
$x=3×2=6$，$y=2×2=4$。
因此方程组的解为$\begin{cases}x=6\\y=4\\z=2\end{cases}$。
方法二：代入验证法
A选项：代入$2x=3y$，左边$=2×1=2$，右边$=3×3=9$，两边不相等，排除；
B选项：代入$2x=3y$，左边$=2×6=12$，右边$=3×3=9$，两边不相等，排除；
C选项：代入$2x=3y=6z$，$2×6=12$，$3×4=12$，$6×2=12$，等式成立；再代入$x+2y+z$，得$6+2×4+2=16$，等式成立，符合要求；
D选项：代入$2x=3y$，左边$=2×4=8$，右边$=3×5=15$，两边不相等，排除。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的解法；代入消元法
【点评】
本题解题的关键是利用连等式的特点，用一个未知数表示其余未知数实现消元，或者采用代入验证的方法快速得出结果，侧重对基础消元思想的考查。
【难度系数】
0.8
11.在某年全国足球超级联赛的前11轮比赛中，某队保持连续不败，共积23分.按比赛规定，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜
6
场.答案
11.6
解析
【分析】
本题属于比赛积分类应用题，解题时首先抓住“连续不败”的条件，可知该队11轮比赛只有胜、平两种结果。我们可以通过设未知数，利用“胜场总积分+平场总积分=总积分23分”这一等量关系列方程求解。具体思路为：设胜场数为x，那么平场数就是总场数11减去胜场数x，再根据积分规则分别表示出胜场、平场的总得分，相加等于23，解方程即可得到胜场数。
【解析】
设该队共胜了$ x $场，因为前11轮保持不败，所以平的场数为$ (11-x) $场。
根据胜一场得3分，平一场得1分，总积23分，可列方程：
$ 3x + 1×(11-x) = 23 $
化简方程：
$ 3x + 11 - x = 23 $
$ 2x + 11 = 23 $
移项计算：
$ 2x = 23 - 11 $
$ 2x = 12 $
解得：$ x = 6 $
验证：胜6场得$ 6×3=18 $分，平$ 11-6=5 $场得$ 5×1=5 $分，总积分$ 18+5=23 $分，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分问题
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题核心是准确解读“不败”的含义，找准积分的等量关系，计算过程简单，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题属于比赛积分类应用题，解题时首先抓住“连续不败”的条件，可知该队11轮比赛只有胜、平两种结果。我们可以通过设未知数，利用“胜场总积分+平场总积分=总积分23分”这一等量关系列方程求解。具体思路为：设胜场数为x，那么平场数就是总场数11减去胜场数x，再根据积分规则分别表示出胜场、平场的总得分，相加等于23，解方程即可得到胜场数。
【解析】
设该队共胜了$ x $场，因为前11轮保持不败，所以平的场数为$ (11-x) $场。
根据胜一场得3分，平一场得1分，总积23分，可列方程：
$ 3x + 1×(11-x) = 23 $
化简方程：
$ 3x + 11 - x = 23 $
$ 2x + 11 = 23 $
移项计算：
$ 2x = 23 - 11 $
$ 2x = 12 $
解得：$ x = 6 $
验证：胜6场得$ 6×3=18 $分，平$ 11-6=5 $场得$ 5×1=5 $分，总积分$ 18+5=23 $分，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 比赛积分问题
【点评】
本题是基础的方程应用题，解题核心是准确解读“不败”的含义，找准积分的等量关系，计算过程简单，掌握一元一次方程解应用题的基本步骤就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
12.甲、乙两人相距6千米，若两人同时出发、同向而行，则甲3小时可追上乙；若两人同时出发、相向而行，则1小时相遇，求甲、乙的速度。
答案
12. 甲的速度为 4 千米/时,乙的速度为 2 千米/时.
解析
【分析】
这是行程类的追及和相遇问题，可通过设未知数列二元一次方程组求解。首先明确两类场景的等量关系：同向追及时，相同时间内快者走的路程减去慢者走的路程等于两人初始相距的距离；相向相遇时，相同时间内两人走的路程之和等于两人初始相距的距离。根据两个等量关系列方程组，求解即可得到甲、乙的速度。
【解析】
解：设甲的速度为$x$千米/时，乙的速度为$y$千米/时，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x - 3y = 6&①\\x + y = 6&②\end{cases}$
将方程①两边同时除以3，得：$x - y = 2$ ③
用方程②加方程③，得：$2x = 8$，解得$x = 4$
把$x = 4$代入方程②，得：$4 + y = 6$，解得$y = 2$
经检验，$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$符合实际题意。
【答案】
甲的速度为4千米/时,乙的速度为2千米/时.
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 追及问题
3. 相遇问题
【点评】
本题是行程类基础典型题，核心是找准不同行程场景下的路程等量关系，熟练掌握列方程组解应用题的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是行程类的追及和相遇问题，可通过设未知数列二元一次方程组求解。首先明确两类场景的等量关系：同向追及时，相同时间内快者走的路程减去慢者走的路程等于两人初始相距的距离；相向相遇时，相同时间内两人走的路程之和等于两人初始相距的距离。根据两个等量关系列方程组，求解即可得到甲、乙的速度。
【解析】
解：设甲的速度为$x$千米/时，乙的速度为$y$千米/时，根据题意列方程组：
$\begin{cases}3x - 3y = 6&①\\x + y = 6&②\end{cases}$
将方程①两边同时除以3，得：$x - y = 2$ ③
用方程②加方程③，得：$2x = 8$，解得$x = 4$
把$x = 4$代入方程②，得：$4 + y = 6$，解得$y = 2$
经检验，$\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$符合实际题意。
【答案】
甲的速度为4千米/时,乙的速度为2千米/时.
【知识点】
1. 二元一次方程组应用
2. 追及问题
3. 相遇问题
【点评】
本题是行程类基础典型题，核心是找准不同行程场景下的路程等量关系，熟练掌握列方程组解应用题的步骤即可快速求解。
【难度系数】
0.8
13.题目“二果问价”：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱.试问甜果、苦果各几个.
答案
13. 甜果 657 个,苦果 343 个.
解析
【分析】
本题属于古代实际应用类数学题，解题核心是提取题干中的两个等量关系：一是甜果与苦果的总数量为1000个，二是购买两种果的总费用为999文。我们可以先根据计价规则算出单个甜果、苦果的价格，再设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组求解，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设甜果有$x$个，苦果有$y$个。
由题意可得两个等量关系，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 1000 \quad \mathrm{①} \\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式得：$y = 1000 - x$ ③
将③代入②式，为消去分母，等式两边同时乘9和7的最小公倍数63：
$63×\dfrac{11}{9}x + 63×\dfrac{4}{7}(1000 - x) = 999×63$
化简得：$77x + 36(1000 - x) = 62937$
展开括号：$77x + 36000 - 36x = 62937$
合并同类项：$41x = 26937$
解得：$x = 657$
把$x=657$代入③式得：$y = 1000 - 657 = 343$
验证：657个甜果费用为$657÷9×11=803$文，343个苦果费用为$343÷7×4=196$文，总费用$803+196=999$文，符合题意。
【答案】
甜果657个，苦果343个。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学名题设置情境，考查学生读取信息、提取等量关系、列解方程的能力，计算时通过乘最小公倍数消去分数可大幅降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
本题属于古代实际应用类数学题，解题核心是提取题干中的两个等量关系：一是甜果与苦果的总数量为1000个，二是购买两种果的总费用为999文。我们可以先根据计价规则算出单个甜果、苦果的价格，再设两个未知数，根据等量关系列二元一次方程组求解，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
解：设甜果有$x$个，苦果有$y$个。
由题意可得两个等量关系，列方程组：
$\begin{cases}x + y = 1000 \quad \mathrm{①} \\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由①式得：$y = 1000 - x$ ③
将③代入②式，为消去分母，等式两边同时乘9和7的最小公倍数63：
$63×\dfrac{11}{9}x + 63×\dfrac{4}{7}(1000 - x) = 999×63$
化简得：$77x + 36(1000 - x) = 62937$
展开括号：$77x + 36000 - 36x = 62937$
合并同类项：$41x = 26937$
解得：$x = 657$
把$x=657$代入③式得：$y = 1000 - 657 = 343$
验证：657个甜果费用为$657÷9×11=803$文，343个苦果费用为$343÷7×4=196$文，总费用$803+196=999$文，符合题意。
【答案】
甜果657个，苦果343个。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题结合古代数学名题设置情境，考查学生读取信息、提取等量关系、列解方程的能力，计算时通过乘最小公倍数消去分数可大幅降低运算出错概率。
【难度系数】
0.7
14.运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲、乙、丙三种车型可选择，每种车型的运载量和运费如表所示.
假设每辆车均满载,解答下列问题:
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完,需运费9600元,则甲、乙型车分别需要多少辆?
(2)若甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送,且一次运完全部物资,其中甲型车有2辆,则乙、丙型车分别需要多少辆?此时的总运费是多少?
假设每辆车均满载,解答下列问题:
(1)若全部物资仅用甲、乙型车一次运完,需运费9600元,则甲、乙型车分别需要多少辆?
(2)若甲、乙、丙型车共14辆同时参与运送,且一次运完全部物资,其中甲型车有2辆,则乙、丙型车分别需要多少辆?此时的总运费是多少?
答案
14.(1)甲型车需要 8 辆,乙型车需要 10 辆.
(2)乙型车需要 5 辆,丙型车需要 7 辆,此时的总运费为 8 800 元.
(2)乙型车需要 5 辆,丙型车需要 7 辆,此时的总运费为 8 800 元.
解析
【分析】
(1) 求解甲、乙型车的数量，可设两个未知数，根据“甲、乙型车总运载量为120吨”“甲、乙型车总运费为9600元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 已知甲型车数量和总车辆数，可先算出乙、丙型车的总数量，以及乙、丙型车需要运输的物资总重量，再根据车辆总数和运载总量列方程求解乙、丙型车数量，最后代入运费公式计算总运费即可。
【解析】
(1) 设需要甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 8y = 120&①\\450x + 600y = 9600&②\end{cases}$
化简②式，两边同时除以150得：$3x + 4y = 64$ ③
③$×2-$①得：$6x+8y-(5x+8y)=128-120$，解得$x=8$
将$x=8$代入①得：$5×8+8y=120$，解得$y=10$
(2) 已知甲型车有2辆，因此乙、丙型车总数量为$14-2=12$辆，甲型车运载的物资重量为$2×5=10$吨，因此乙、丙型车需要运载的物资重量为$120-10=110$吨。
设需要乙型车$m$辆，丙型车$n$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}m + n = 12&①\\8m + 10n = 110&②\end{cases}$
由①得$m=12-n$，代入②得：$8(12-n)+10n=110$
展开计算得：$96+2n=110$，解得$n=7$
则$m=12-7=5$
总运费为：$2×450 + 5×600 + 7×700=900+3000+4900=8800$元
【答案】
(1) 甲型车需要 8 辆,乙型车需要 10 辆。
(2) 乙型车需要 5 辆,丙型车需要 7 辆,此时的总运费为 8800 元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、实际问题等量关系构建、运费计算
【点评】
本题结合运输物资的实际场景考查方程的应用，解题核心是准确从题干中提取运载量、车辆数、费用对应的等量关系，列出合适的方程求解，整体解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.75
(1) 求解甲、乙型车的数量，可设两个未知数，根据“甲、乙型车总运载量为120吨”“甲、乙型车总运费为9600元”两个等量关系列二元一次方程组，解方程组即可得到结果。
(2) 已知甲型车数量和总车辆数，可先算出乙、丙型车的总数量，以及乙、丙型车需要运输的物资总重量，再根据车辆总数和运载总量列方程求解乙、丙型车数量，最后代入运费公式计算总运费即可。
【解析】
(1) 设需要甲型车$x$辆，乙型车$y$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}5x + 8y = 120&①\\450x + 600y = 9600&②\end{cases}$
化简②式，两边同时除以150得：$3x + 4y = 64$ ③
③$×2-$①得：$6x+8y-(5x+8y)=128-120$，解得$x=8$
将$x=8$代入①得：$5×8+8y=120$，解得$y=10$
(2) 已知甲型车有2辆，因此乙、丙型车总数量为$14-2=12$辆，甲型车运载的物资重量为$2×5=10$吨，因此乙、丙型车需要运载的物资重量为$120-10=110$吨。
设需要乙型车$m$辆，丙型车$n$辆，根据题意列方程组：
$\begin{cases}m + n = 12&①\\8m + 10n = 110&②\end{cases}$
由①得$m=12-n$，代入②得：$8(12-n)+10n=110$
展开计算得：$96+2n=110$，解得$n=7$
则$m=12-7=5$
总运费为：$2×450 + 5×600 + 7×700=900+3000+4900=8800$元
【答案】
(1) 甲型车需要 8 辆,乙型车需要 10 辆。
(2) 乙型车需要 5 辆,丙型车需要 7 辆,此时的总运费为 8800 元。
【知识点】
二元一次方程组的应用、实际问题等量关系构建、运费计算
【点评】
本题结合运输物资的实际场景考查方程的应用，解题核心是准确从题干中提取运载量、车辆数、费用对应的等量关系，列出合适的方程求解，整体解题逻辑清晰，计算难度低。
【难度系数】
0.75
