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1. 如图,有一张直角三角形纸片$ABC$,$∠ ACB = 90°$,$AC = 8\ \mathrm{cm}$,$BC = 6\ \mathrm{cm}$,将斜边$AB$翻折,使点$B$落在直角边$AC$延长线上的点$E$处,折痕为$AD$,则$CE$的长为 (
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
B
)A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$2\ \mathrm{cm}$
C.$3\ \mathrm{cm}$
D.$4\ \mathrm{cm}$
答案
$\because$ 在 $Rt △ ACB$ 中, $∠ ACB = 90°$, $\therefore AC^2 + BC^2 = AB^2$, $\therefore AB = 10$ cm. 由折叠的性质, 得 $AE = AB$, $\therefore CE = AE - AC = AB - AC = 2$ cm.
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，已知直角三角形的两条直角边长度，第一步可想到用勾股定理计算斜边AB的长度；再根据翻折的性质，翻折前后对应边长度相等，可得AB与翻折后的AE长度相等；最后观察图形，E在AC的延长线上，CE的长度等于AE减去AC的长度，代入数值即可算出结果。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$得：
$AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
由折叠的性质可得$AE=AB=10\ \mathrm{cm}$，
因为点E在AC的延长线上，因此：
$CE=AE-AC=10-8=2\ \mathrm{cm}$
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理得到相关线段长度，再通过线段的和差关系计算所求长度。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，已知直角三角形的两条直角边长度，第一步可想到用勾股定理计算斜边AB的长度；再根据翻折的性质，翻折前后对应边长度相等，可得AB与翻折后的AE长度相等；最后观察图形，E在AC的延长线上，CE的长度等于AE减去AC的长度，代入数值即可算出结果。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，根据勾股定理：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
代入$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$得：
$AB=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$
由折叠的性质可得$AE=AB=10\ \mathrm{cm}$，
因为点E在AC的延长线上，因此：
$CE=AE-AC=10-8=2\ \mathrm{cm}$
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用折叠前后对应边相等的性质，结合勾股定理得到相关线段长度，再通过线段的和差关系计算所求长度。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=6$,$BC=9$,将$△ ABC$折叠,使点$C$与$AB$的中点$D$重合,折痕交$AC$于点$M$,交$BC$于点$N$,则线段$BN$的长为 
(
A.3
B.4
C.5
D.6
(B
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
$\because D$ 是 AB 的中点, $AB = 6$, $\therefore AD = BD = 3$. 由折叠的性质, 得 $DN = CN$, $\therefore BN = BC - CN = 9 - DN$. 在 $Rt △ DBN$ 中, $DN^2 = BN^2 + BD^2 = (9 - DN)^2 + 3^2$, 解得 $DN = 5$, $\therefore BN = 4$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据D是AB中点的条件，先求出BD的长度；第二步，利用折叠的性质得到DN=CN，将BN转化为用DN表示的形式：BN=BC-CN=9-DN；第三步，观察到△DBN是直角三角形，结合勾股定理列出关于DN的方程，求解出DN的长度后就能算出BN的长。
【解析】
解：
∵D是AB的中点，AB=6，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=3$。
由折叠的性质可得：$DN=CN$，
∴$BN=BC-CN=9-DN$。
在$Rt△DBN$中，$∠B=90°$，根据勾股定理得：
$DN^2=BN^2+BD^2$，
将$BN=9-DN$，$BD=3$代入得：
$DN^2=(9-DN)^2+3^2$，
展开计算得：$DN^2=81-18DN+DN^2+9$，
消去$DN^2$后整理得：$18DN=90$，
解得$DN=5$，
∴$BN=9-5=4$。
【答案】B
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；线段中点
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，核心是利用折叠性质转化相等线段，再结合勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据D是AB中点的条件，先求出BD的长度；第二步，利用折叠的性质得到DN=CN，将BN转化为用DN表示的形式：BN=BC-CN=9-DN；第三步，观察到△DBN是直角三角形，结合勾股定理列出关于DN的方程，求解出DN的长度后就能算出BN的长。
【解析】
解：
∵D是AB的中点，AB=6，
∴$BD=\frac{1}{2}AB=3$。
由折叠的性质可得：$DN=CN$，
∴$BN=BC-CN=9-DN$。
在$Rt△DBN$中，$∠B=90°$，根据勾股定理得：
$DN^2=BN^2+BD^2$，
将$BN=9-DN$，$BD=3$代入得：
$DN^2=(9-DN)^2+3^2$，
展开计算得：$DN^2=81-18DN+DN^2+9$，
消去$DN^2$后整理得：$18DN=90$，
解得$DN=5$，
∴$BN=9-5=4$。
【答案】B
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；线段中点
【点评】
本题是几何线段求解的典型题型，核心是利用折叠性质转化相等线段，再结合勾股定理建立方程求解，渗透了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=6$,$AC=8$.现将$Rt△ ABC$沿$BD$进行翻折,使点$A$落在$BC$上的点$A'$处,则$CD$的长为 (
A.10
B.5
C.4
D.3
B
)A.10
B.5
C.4
D.3
答案
$\because ∠ A = 90°$, $AB = 6$, $AC = 8$, $\therefore BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 10^2$, $\therefore BC = 10$. 由折叠的性质, 得 $A'B = AB = 6$, $∠ BA'D = ∠ A = 90°$, $A'D = AD$, $\therefore ∠ CA'D = 90°$, $A'C = BC - BA' = 4$. 在 $Rt △ A'CD$ 中, 由勾股定理, 得 $CD^2 = A'D^2 + A'C^2$, $\therefore CD^2 = (8 - CD)^2 + 4^2$, $\therefore CD = 5$.
解析
【分析】
遇到折叠类问题首先要明确折叠前后对应边相等、对应角相等。解题时首先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边BC的长度，再根据折叠性质得到A'B、A'D与原三角形边的等量关系，求出A'C的长度；观察到△A'CD也是直角三角形，可设CD的长为未知数，用含未知数的式子表示A'D，最后在Rt△A'CD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠A=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100$，因此$BC=10$。
根据折叠的性质可得：$A'B=AB=6$，$∠BA'D=∠A=90°$，$A'D=AD$，
因此$∠CA'D=90°$，$A'C=BC-A'B=10-6=4$。
设$CD=x$，则$AD=AC-CD=8-x$，即$A'D=8-x$，
在$Rt△A'CD$中，由勾股定理得：$CD^2=A'D^2+A'C^2$，
代入得：$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开计算：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即CD的长为5。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠结合的典型基础题，核心是利用折叠的等量关系，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，是几何中常见的考法。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类问题首先要明确折叠前后对应边相等、对应角相等。解题时首先利用勾股定理计算出Rt△ABC的斜边BC的长度，再根据折叠性质得到A'B、A'D与原三角形边的等量关系，求出A'C的长度；观察到△A'CD也是直角三角形，可设CD的长为未知数，用含未知数的式子表示A'D，最后在Rt△A'CD中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠A=90°$，$AB=6$，$AC=8$，由勾股定理得：
$BC^2=AB^2+AC^2=6^2+8^2=100$，因此$BC=10$。
根据折叠的性质可得：$A'B=AB=6$，$∠BA'D=∠A=90°$，$A'D=AD$，
因此$∠CA'D=90°$，$A'C=BC-A'B=10-6=4$。
设$CD=x$，则$AD=AC-CD=8-x$，即$A'D=8-x$，
在$Rt△A'CD$中，由勾股定理得：$CD^2=A'D^2+A'C^2$，
代入得：$x^2=(8-x)^2+4^2$，
展开计算：$x^2=64-16x+x^2+16$，
化简得：$16x=80$，解得$x=5$，即CD的长为5。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是勾股定理与折叠结合的典型基础题，核心是利用折叠的等量关系，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，通过勾股定理建立方程求解，是几何中常见的考法。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=6$,$BC=8$,点$D$,$E$分别在$AC$,$BC$上,且$DE // AB$.将$△ ABC$沿$DE$折叠,使点$C$落在斜边$AB$上的点$F$处,则$AF$的长为 (
A. $3.6$ B. $4$ C. $4.8$ D. $6.4$
5. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=2$,$AC=3$,沿$AD$和$EF$将纸片折叠,使点$B$和点$C$都落在边$BC$上的点$P$处,则$AE$的长是 (
A. $\frac{13}{6}$ B. $\frac{5}{6}$ C. $\frac{7}{6}$ D. $\frac{6}{5}$
第5题图 第6题图
A
)A. $3.6$ B. $4$ C. $4.8$ D. $6.4$
5. 如图,在三角形纸片$ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=2$,$AC=3$,沿$AD$和$EF$将纸片折叠,使点$B$和点$C$都落在边$BC$上的点$P$处,则$AE$的长是 (
A
)A. $\frac{13}{6}$ B. $\frac{5}{6}$ C. $\frac{7}{6}$ D. $\frac{6}{5}$
第5题图 第6题图
答案
4. 如图,连接 CF,根据折叠的性质,得 $CF ⊥ DE$. $\because DE // AB$, $\therefore CF ⊥ AB$. $\because ∠ ACB = 90°$, $AC = 6$, $BC = 8$, $\therefore AB^2 = AC^2 + BC^2 = 10^2$, $\therefore AB = 10$. $\because AC ⊥ BC$, $CF ⊥ AB$, $\therefore \frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CF$, $\therefore CF = 4.8$, $\therefore AF^2 = AC^2 - CF^2 = 6^2 - 4.8^2 = 3.6^2$, $\therefore AF = 3.6$.
5. $\because$ 沿 AD 将纸片折叠, 使点 B 落在边 BC 上的点 P 处, $\therefore AP = AB = 2$, $∠ B = ∠ APB$. $\because$ 沿 EF 将纸片折叠, 使点 C 落在边 BC 上的点 P 处, $\therefore CE = PE$, $∠ C = ∠ EPC$. $\because ∠ BAC = 90°$, $\therefore ∠ B + ∠ C = 90°$, $\therefore ∠ APB + ∠ EPC = 90°$, $\therefore ∠ APE = 90°$, $\therefore AP^2 + PE^2 = AE^2$. 设 $AE = x$, 则 $PE = CE = 3 - x$, $\therefore 2^2 + (3 - x)^2 = x^2$, 解得 $x = \frac{13}{6}$, 即 $AE = \frac{13}{6}$.
解析
第4题
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质：折叠后对应点的连线与折痕垂直，可得$CF⊥ DE$，结合$DE// AB$推出$CF⊥ AB$。先由勾股定理求出斜边$AB$的长度，再用等面积法求出$AB$边上的高$CF$的长度，最后在$Rt△ ACF$中利用勾股定理计算$AF$的长度即可。
【解析】
连接$CF$，根据折叠的性质可得：$CF ⊥ DE$。
$\because DE // AB$，$\therefore CF ⊥ AB$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
利用三角形面积的两种计算方式可得：
$\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CF$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CF$，解得$CF=4.8$。
在$Rt△ ACF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，等面积法
【点评】
本题将折叠性质、平行线性质与勾股定理结合考查，解题的突破口是作辅助线$CF$，利用垂直关系结合等面积法求出高$CF$的长度，再用勾股定理求边长。
【难度系数】
0.65
---
第5题
【分析】
首先根据折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导出$∠ APE=90°$，得到$Rt△ APE$。设$AE$的长度为$x$，用$x$表示出$PE$的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
由折叠的性质可知：沿$AD$折叠点$B$落在$P$处，故$AP=AB=2$，$∠ B=∠ APB$；沿$EF$折叠点$C$落在$P$处，故$PE=CE$，$∠ C=∠ EPC$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ B+∠ C=90°$，等量代换得$∠ APB+∠ EPC=90°$，
$\therefore ∠ APE=180°-(∠ APB+∠ EPC)=90°$，即$△ APE$为直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，即$PE=3-x$。
在$Rt△ APE$中，由勾股定理得$AP^2+PE^2=AE^2$，代入数值：
$2^2+(3-x)^2=x^2$
展开化简得：$4+9-6x+x^2=x^2$，即$13=6x$，解得$x=\frac{13}{6}$，故$AE=\frac{13}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题考查折叠性质和勾股定理的综合应用，解题关键是根据角的等量关系推导出$△ APE$是直角三角形，再通过设未知数建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质：折叠后对应点的连线与折痕垂直，可得$CF⊥ DE$，结合$DE// AB$推出$CF⊥ AB$。先由勾股定理求出斜边$AB$的长度，再用等面积法求出$AB$边上的高$CF$的长度，最后在$Rt△ ACF$中利用勾股定理计算$AF$的长度即可。
【解析】
连接$CF$，根据折叠的性质可得：$CF ⊥ DE$。
$\because DE // AB$，$\therefore CF ⊥ AB$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=6$，$BC=8$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
利用三角形面积的两种计算方式可得：
$\frac{1}{2}AC · BC = \frac{1}{2}AB · CF$，代入数值：
$\frac{1}{2} × 6 × 8 = \frac{1}{2} × 10 × CF$，解得$CF=4.8$。
在$Rt△ ACF$中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AC^2-CF^2}=\sqrt{6^2-4.8^2}=3.6$。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，等面积法
【点评】
本题将折叠性质、平行线性质与勾股定理结合考查，解题的突破口是作辅助线$CF$，利用垂直关系结合等面积法求出高$CF$的长度，再用勾股定理求边长。
【难度系数】
0.65
---
第5题
【分析】
首先根据折叠的性质得到对应边、对应角相等的关系，结合直角三角形两锐角互余的性质，推导出$∠ APE=90°$，得到$Rt△ APE$。设$AE$的长度为$x$，用$x$表示出$PE$的长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
由折叠的性质可知：沿$AD$折叠点$B$落在$P$处，故$AP=AB=2$，$∠ B=∠ APB$；沿$EF$折叠点$C$落在$P$处，故$PE=CE$，$∠ C=∠ EPC$。
$\because ∠ BAC=90°$，$\therefore ∠ B+∠ C=90°$，等量代换得$∠ APB+∠ EPC=90°$，
$\therefore ∠ APE=180°-(∠ APB+∠ EPC)=90°$，即$△ APE$为直角三角形。
设$AE=x$，则$CE=AC-AE=3-x$，即$PE=3-x$。
在$Rt△ APE$中，由勾股定理得$AP^2+PE^2=AE^2$，代入数值：
$2^2+(3-x)^2=x^2$
展开化简得：$4+9-6x+x^2=x^2$，即$13=6x$，解得$x=\frac{13}{6}$，故$AE=\frac{13}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题考查折叠性质和勾股定理的综合应用，解题关键是根据角的等量关系推导出$△ APE$是直角三角形，再通过设未知数建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
6. [2026 佛山南海区月考] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°,AC=8,BC=6$,点 D 为边 AC 上一动点, $DE ⊥ AB$ 交 AB 于点 E,将 $∠ A$ 沿直线 DE 折叠,点 A 的对应点为点 F,当 $△ DFC$ 是直角三角形时,AD 的长为
$\frac{7}{4}$ 或 $\frac{25}{4}$
.答案
$\because ∠ A$ 沿直线 DE 折叠, 点 A 的对应点为点 F, $\therefore ∠ A = ∠ AFD$, $AD = DF$. $\because ∠ ACB = 90°$, $\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$, $\therefore ∠ AFD + ∠ B = 90°$. 当 $△ DFC$ 是直角三角形且 $∠ DFC = 90°$ 时, $∠ AFD + ∠ BFC = 90°$, $\therefore ∠ B = ∠ BFC$, $\therefore CF = CB = 6$. $\because AC = AD + DC = 8$, $\therefore DC = 8 - AD = 8 - DF$, $\because DC^2 = DF^2 + FC^2$, $\therefore (8 - DF)^2 = DF^2 + 6^2$, $\therefore (8 - AD)^2 = AD^2 + 6^2$, 解得 $AD = \frac{7}{4}$; 如图, 当点 F 与点 B 重合时, $△ DFC$ 是直角三角形且 $∠ DCF = 90°$, $\therefore AD = DF$, $\because DF^2 = DC^2 + BC^2$, $\therefore AD^2 = (8 - AD)^2 + 6^2$, $\therefore AD = \frac{25}{4}$. 综上, 当 $△ DFC$ 是直角三角形时, AD 的长为 $\frac{7}{4}$ 或 $\frac{25}{4}$.
解析
【分析】
这是一道结合折叠变换与勾股定理的几何计算题，解题思路如下：1. 首先利用折叠的性质，得到AD=DF、∠A=∠AFD，这是折叠变换中对应边相等、对应角相等的基本结论；2. 由于△DFC是直角三角形，直角顶点未明确，因此需要分类讨论两种可能：①直角顶点为F，即∠DFC=90°；②直角顶点为C，即∠DCF=90°，此时折叠后点F与点B重合；3. 每种情况下设AD的长为x，用含x的式子表示DC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
由折叠的性质可知：∠A沿直线DE折叠后，点A的对应点为F，因此$AD=DF$，$∠A=∠AFD$。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，因此$∠A+∠B=90°$，可推得$∠AFD+∠B=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△DFC$中$∠DFC=90°$时：
$∠AFD+∠BFC=180°-∠DFC=90°$，结合$∠AFD+∠B=90°$，可得$∠B=∠BFC$，因此$CF=BC=6$。
设$AD=x$，则$DF=x$，$DC=AC-AD=8-x$，
在$Rt△DFC$中由勾股定理得：$DC^2=DF^2+FC^2$，
代入得$(8-x)^2=x^2+6^2$，
展开化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$，即$AD=\frac{7}{4}$。
2. 当$△DFC$中$∠DCF=90°$时，此时点F与点B重合（$∠ACB=90°$即$∠DCB=90°$）：
设$AD=x$，则$DF=AD=x$，$DC=8-x$，
在$Rt△DCB$中由勾股定理得：$DF^2=DC^2+BC^2$，
代入得$x^2=(8-x)^2+6^2$，
展开化简得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$，即$AD=\frac{25}{4}$。
综上，当$△DFC$是直角三角形时，AD的长为$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查折叠性质与勾股定理的综合应用，解题核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，结合几何关系列方程求解，解题时要注意全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
这是一道结合折叠变换与勾股定理的几何计算题，解题思路如下：1. 首先利用折叠的性质，得到AD=DF、∠A=∠AFD，这是折叠变换中对应边相等、对应角相等的基本结论；2. 由于△DFC是直角三角形，直角顶点未明确，因此需要分类讨论两种可能：①直角顶点为F，即∠DFC=90°；②直角顶点为C，即∠DCF=90°，此时折叠后点F与点B重合；3. 每种情况下设AD的长为x，用含x的式子表示DC的长度，再结合勾股定理列方程求解即可，注意两种情况都要考虑，避免漏解。
【解析】
由折叠的性质可知：∠A沿直线DE折叠后，点A的对应点为F，因此$AD=DF$，$∠A=∠AFD$。
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，因此$∠A+∠B=90°$，可推得$∠AFD+∠B=90°$，分两种情况讨论：
1. 当$△DFC$中$∠DFC=90°$时：
$∠AFD+∠BFC=180°-∠DFC=90°$，结合$∠AFD+∠B=90°$，可得$∠B=∠BFC$，因此$CF=BC=6$。
设$AD=x$，则$DF=x$，$DC=AC-AD=8-x$，
在$Rt△DFC$中由勾股定理得：$DC^2=DF^2+FC^2$，
代入得$(8-x)^2=x^2+6^2$，
展开化简得$16x=28$，解得$x=\frac{7}{4}$，即$AD=\frac{7}{4}$。
2. 当$△DFC$中$∠DCF=90°$时，此时点F与点B重合（$∠ACB=90°$即$∠DCB=90°$）：
设$AD=x$，则$DF=AD=x$，$DC=8-x$，
在$Rt△DCB$中由勾股定理得：$DF^2=DC^2+BC^2$，
代入得$x^2=(8-x)^2+6^2$，
展开化简得$16x=100$，解得$x=\frac{25}{4}$，即$AD=\frac{25}{4}$。
综上，当$△DFC$是直角三角形时，AD的长为$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$。
【答案】
$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{4}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查折叠性质与勾股定理的综合应用，解题核心是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，结合几何关系列方程求解，解题时要注意全面分析，避免漏解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$BC=4$,D为BC边上一点,将$△ ABD$沿AD折叠至$△ AB'D$,$AB'$交线段CD于点E.当$△ B'DE$是直角三角形时,求点D到AB的距离.
答案
当点 E 不与点 C 重合, 且 $∠ B'DE = 90°$ 时, 如图 1, 过点 D 作 $DF ⊥ AB$ 于点 F.
$\because ∠ C = 90°$, $AC = 3$, $BC = 4$, $\therefore AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$.
由折叠的性质, 得 $∠ ADB = ∠ ADB'$, $BD = B'D$.
$\because ∠ B'DE = 90°$, $\therefore ∠ BDB' = 180° - ∠ B'DE = 90°$.
$\because ∠ ADB + ∠ BDB' + ∠ ADB' = 360°$,
$\therefore ∠ ADB + ∠ ADB' = 270°$, $\therefore ∠ ADB = ∠ ADB' = 135°$,
$\therefore ∠ ADC = ∠ ADB' - ∠ B'DE = 135° - 90° = 45°$.
又 $\because ∠ C = 90°$, $\therefore △ ADC$ 是等腰直角三角形,
$\therefore DC = AC = 3$, $\therefore BD = BC - DC = 4 - 3 = 1$.
$\because S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DF = \frac{1}{2}BD · AC$,
$\therefore DF = \frac{BD · AC}{AB} = \frac{1×3}{5} = \frac{3}{5}$.
当点 E 与点 C 重合时, $∠ B'ED = 90°$,
如图 2, 过点 D 作 $DM ⊥ AB$ 于点 M.
由折叠的性质, 得 $∠ BAD = ∠ CAD$, 即 AD 为 $∠ BAC$ 的平分线.
$\because ∠ ACB = 90°$, $\therefore DC ⊥ AC$, $\therefore DM = DC$.
由折叠的性质, 得 $AB' = AB = 5$, $BD = B'D$.
$\therefore B'C = AB' - AC = 5 - 3 = 2$.
设 $CD = DM = x$, 则 $BD = B'D = 4 - x$.
$\because △ B'ED$ 是直角三角形, $\therefore B'D^2 = B'C^2 + CD^2$,
$\therefore (4 - x)^2 = 2^2 + x^2$, 解得 $x = \frac{3}{2}$, 即 $DM = \frac{3}{2}$.
综上可知, 点 D 到 AB 的距离为 $\frac{3}{5}$ 或 $\frac{3}{2}$.
解析
【分析】
本题是折叠背景下的直角三角形存在性问题，需先分类讨论△B'DE的直角顶点：①直角顶点为D，即∠B'DE=90°；②直角顶点为E，即∠B'ED=90°，此时E与点C重合。解题步骤为：第一步先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步结合折叠的性质（对应角相等、对应边相等），分别对两种情况推导对应边、角的关系，求出CD或BD的长度；第三步利用面积法或角平分线的性质，计算点D到AB的垂线段长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：点E不与点C重合，∠B'DE=90°，如图1，过点D作DF⊥AB于点F。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由折叠的性质可知：∠ADB=∠ADB'，BD=B'D。
∵∠B'DE=90°，
∴∠BDB'=180°-∠B'DE=90°，
又
∵∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°，
∴∠ADB+∠ADB'=360°-90°=270°，
∴∠ADB=∠ADB'=135°，
∴∠ADC=∠ADB' - ∠B'DE=135°-90°=45°，
∵∠C=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴DC=AC=3，
∴BD=BC - DC=4-3=1。
∵$\boldsymbol{S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DF = \frac{1}{2}BD · AC}$，
∴$\frac{1}{2}×5×DF = \frac{1}{2}×1×3$，解得$DF=\frac{3}{5}$。
情况2：点E与点C重合，∠B'ED=90°，如图2，过点D作DM⊥AB于点M。
由折叠的性质可知：∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的角平分线，且AB'=AB=5，BD=B'D。
∵∠C=90°，即DC⊥AC，DM⊥AB，根据角平分线的性质得DM=DC。
此时B'C=AB' - AC=5-3=2。
设CD=DM=x，则BD=B'D=4-x，
在Rt△B'CD中，由勾股定理得：$B'D^2 = B'C^2 + CD^2$，
代入得：$(4-x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$DM=\frac{3}{2}$。
综上，点D到AB的距离为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
点D到AB的距离为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 折叠的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题属于折叠类几何综合题，核心考查分类讨论思想，需注意直角三角形直角顶点的不确定性，避免漏解。解题过程中要熟练运用折叠前后图形对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理、面积法、角平分线的性质即可求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题是折叠背景下的直角三角形存在性问题，需先分类讨论△B'DE的直角顶点：①直角顶点为D，即∠B'DE=90°；②直角顶点为E，即∠B'ED=90°，此时E与点C重合。解题步骤为：第一步先用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；第二步结合折叠的性质（对应角相等、对应边相等），分别对两种情况推导对应边、角的关系，求出CD或BD的长度；第三步利用面积法或角平分线的性质，计算点D到AB的垂线段长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
情况1：点E不与点C重合，∠B'DE=90°，如图1，过点D作DF⊥AB于点F。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
由折叠的性质可知：∠ADB=∠ADB'，BD=B'D。
∵∠B'DE=90°，
∴∠BDB'=180°-∠B'DE=90°，
又
∵∠ADB+∠ADB'+∠BDB'=360°，
∴∠ADB+∠ADB'=360°-90°=270°，
∴∠ADB=∠ADB'=135°，
∴∠ADC=∠ADB' - ∠B'DE=135°-90°=45°，
∵∠C=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴DC=AC=3，
∴BD=BC - DC=4-3=1。
∵$\boldsymbol{S_{△ABD} = \frac{1}{2}AB · DF = \frac{1}{2}BD · AC}$，
∴$\frac{1}{2}×5×DF = \frac{1}{2}×1×3$，解得$DF=\frac{3}{5}$。
情况2：点E与点C重合，∠B'ED=90°，如图2，过点D作DM⊥AB于点M。
由折叠的性质可知：∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的角平分线，且AB'=AB=5，BD=B'D。
∵∠C=90°，即DC⊥AC，DM⊥AB，根据角平分线的性质得DM=DC。
此时B'C=AB' - AC=5-3=2。
设CD=DM=x，则BD=B'D=4-x，
在Rt△B'CD中，由勾股定理得：$B'D^2 = B'C^2 + CD^2$，
代入得：$(4-x)^2 = 2^2 + x^2$，
展开得：$16 - 8x + x^2 = 4 + x^2$，
化简得：$8x=12$，解得$x=\frac{3}{2}$，即$DM=\frac{3}{2}$。
综上，点D到AB的距离为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【答案】
点D到AB的距离为$\frac{3}{5}$或$\frac{3}{2}$。
【知识点】
1. 勾股定理
2. 折叠的性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题属于折叠类几何综合题，核心考查分类讨论思想，需注意直角三角形直角顶点的不确定性，避免漏解。解题过程中要熟练运用折叠前后图形对应边、对应角相等的性质，结合勾股定理、面积法、角平分线的性质即可求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
