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12. 若$ \sqrt{a} = \sqrt[3]{a} $，则$ a $的值为（
A.1或-1
B.0
C.0或1
D.0或-1
C
）A.1或-1
B.0
C.0或1
D.0或-1
答案
12.C 因为$\sqrt{0} = \sqrt[3]{0}$,$\sqrt{1} = \sqrt[3]{1}$,所以$a$的值为0或1.
解析
【分析】
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的被开方数必须是非负数，所以a的取值范围首先是a≥0，可直接排除含负数的选项；接下来要去掉等式中的根号，由于平方根和立方根的根指数分别是2和3，最小公倍数是6，因此可以给等式两边同时6次方，将根式方程转化为整式方程求解，最后代入原式验证解是否成立即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a}$是算术平方根，
∴被开方数$a≥0$，因此a不可能为负数，可排除选项A、D。
对等式$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$两边同时取6次方，得：
$(\sqrt{a})^6 = (\sqrt[3]{a})^6$
根据根式乘方的性质，$(\sqrt{a})^6 = a^3$，$(\sqrt[3]{a})^6 = a^2$，因此等式可化为：
$a^3 = a^2$
移项得$a^3 - a^2 = 0$，提取公因式$a^2$得：
$a^2(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$。
将$a=0$代入原式，左边$\sqrt{0}=0$，右边$\sqrt[3]{0}=0$，等式成立；将$a=1$代入原式，左边$\sqrt{1}=1$，右边$\sqrt[3]{1}=1$，等式成立。
因此a的值为0或1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式方程求解
【点评】
本题易错点是忽略算术平方根的被开方数必须非负，误将-1纳入解的范围，解题时可先根据根式有意义的条件缩小未知量的取值范围，再通过乘方去根号转化为整式方程求解，最后要注意验证解是否满足原方程和根式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆算术平方根的性质：算术平方根的被开方数必须是非负数，所以a的取值范围首先是a≥0，可直接排除含负数的选项；接下来要去掉等式中的根号，由于平方根和立方根的根指数分别是2和3，最小公倍数是6，因此可以给等式两边同时6次方，将根式方程转化为整式方程求解，最后代入原式验证解是否成立即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{a}$是算术平方根，
∴被开方数$a≥0$，因此a不可能为负数，可排除选项A、D。
对等式$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$两边同时取6次方，得：
$(\sqrt{a})^6 = (\sqrt[3]{a})^6$
根据根式乘方的性质，$(\sqrt{a})^6 = a^3$，$(\sqrt[3]{a})^6 = a^2$，因此等式可化为：
$a^3 = a^2$
移项得$a^3 - a^2 = 0$，提取公因式$a^2$得：
$a^2(a-1)=0$
解得$a=0$或$a=1$。
将$a=0$代入原式，左边$\sqrt{0}=0$，右边$\sqrt[3]{0}=0$，等式成立；将$a=1$代入原式，左边$\sqrt{1}=1$，右边$\sqrt[3]{1}=1$，等式成立。
因此a的值为0或1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的性质、立方根的性质、根式方程求解
【点评】
本题易错点是忽略算术平方根的被开方数必须非负，误将-1纳入解的范围，解题时可先根据根式有意义的条件缩小未知量的取值范围，再通过乘方去根号转化为整式方程求解，最后要注意验证解是否满足原方程和根式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
13. 易错题 $\sqrt{64}$的立方根的平方根是
$\pm\sqrt{2}$
.答案
13.$\pm\sqrt{2}$ $\because \sqrt{64} = 8$,8的立方根是2,2的平方根是$\pm\sqrt{2}$,
∴ $\sqrt{64}$的立方根的平方根是$\pm\sqrt{2}$.
∴ $\sqrt{64}$的立方根的平方根是$\pm\sqrt{2}$.
解析
【分析】
解决本题需要按照从内到外的顺序逐层计算，首先要明确$\sqrt{64}$是64的算术平方根，结果为非负数，不能误算为$\pm8$；接着计算所得结果的立方根，立方根的符号与被开方数一致；最后计算该立方根的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负的结果。
【解析】
第一步：计算最内层的算术平方根：$\sqrt{64}=8$；
第二步：计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$；
第三步：计算2的平方根：正数有两个互为相反数的平方根，因此2的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt{64}$的立方根的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根、立方根、平方根
【点评】
本题是典型的易错题，核心考查多层开方运算的逻辑，解题时需注意两点：一是严格遵循从内到外的运算顺序，二是准确区分三种开方运算的定义，避免出现概念混淆、漏写符号等错误。
【难度系数】
0.6
解决本题需要按照从内到外的顺序逐层计算，首先要明确$\sqrt{64}$是64的算术平方根，结果为非负数，不能误算为$\pm8$；接着计算所得结果的立方根，立方根的符号与被开方数一致；最后计算该立方根的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏写负的结果。
【解析】
第一步：计算最内层的算术平方根：$\sqrt{64}=8$；
第二步：计算8的立方根：$\sqrt[3]{8}=2$；
第三步：计算2的平方根：正数有两个互为相反数的平方根，因此2的平方根为$\pm\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt{64}$的立方根的平方根是$\pm\sqrt{2}$。
【答案】
$\pm\sqrt{2}$
【知识点】
算术平方根、立方根、平方根
【点评】
本题是典型的易错题，核心考查多层开方运算的逻辑，解题时需注意两点：一是严格遵循从内到外的运算顺序，二是准确区分三种开方运算的定义，避免出现概念混淆、漏写符号等错误。
【难度系数】
0.6
14. 定义新运算：$a \otimes b = \begin{cases} 3a -5b & (a ＞ b) \\ \sqrt[3]{ab} & (a ≤ b) \end{cases}$，计算：
$5 \otimes (1 \otimes 8) = \underline{\hspace{5cm}}$
$5 \otimes (1 \otimes 8) = \underline{\hspace{5cm}}$
答案
14.5 $\because a \otimes b = \begin{cases} 3a -5b & (a ＞ b) \\ \sqrt[3]{ab} & (a ≤ b) \end{cases}$,
∴ $5 \otimes (1 \otimes 8) =5 \otimes \sqrt[3]{1 × 8} =5 \otimes 2 = 3 × 5 -5 × 2 = 15 -10 =5$.
∴ $5 \otimes (1 \otimes 8) =5 \otimes \sqrt[3]{1 × 8} =5 \otimes 2 = 3 × 5 -5 × 2 = 15 -10 =5$.
解析
【分析】
这是定义新运算的计算题，解题遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先计算括号里的$1 \otimes 8$，先比较1和8的大小，$1＜8$，所以选择$a≤b$对应的运算公式算出结果；第二步再计算5和第一步所得结果的新运算，先比较两个数的大小，再选对应公式计算最终结果。
【解析】
首先计算括号内的$1 \otimes 8$：
∵$1＜8$，满足$a≤b$的运算条件，
∴$1 \otimes 8 = \sqrt[3]{1×8} = \sqrt[3]{8} = 2$
再计算$5 \otimes 2$：
∵$5＞2$，满足$a＞b$的运算条件，
∴$5 \otimes 2 = 3×5 - 5×2 = 15 - 10 = 5$
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
定义新运算，立方根计算，有理数混合运算
【点评】
本题侧重考查对新运算规则的理解，解题时要注意先算括号内的部分，每一步运算前都要先比较参与运算的两个数的大小，选对对应的运算公式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
这是定义新运算的计算题，解题遵循“有括号先算括号内”的运算顺序：第一步先计算括号里的$1 \otimes 8$，先比较1和8的大小，$1＜8$，所以选择$a≤b$对应的运算公式算出结果；第二步再计算5和第一步所得结果的新运算，先比较两个数的大小，再选对应公式计算最终结果。
【解析】
首先计算括号内的$1 \otimes 8$：
∵$1＜8$，满足$a≤b$的运算条件，
∴$1 \otimes 8 = \sqrt[3]{1×8} = \sqrt[3]{8} = 2$
再计算$5 \otimes 2$：
∵$5＞2$，满足$a＞b$的运算条件，
∴$5 \otimes 2 = 3×5 - 5×2 = 15 - 10 = 5$
【答案】
$\boxed{5}$
【知识点】
定义新运算，立方根计算，有理数混合运算
【点评】
本题侧重考查对新运算规则的理解，解题时要注意先算括号内的部分，每一步运算前都要先比较参与运算的两个数的大小，选对对应的运算公式，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.7
15. 若$\sqrt[3]{1.728}=1.2$，则$\sqrt[3]{-0.001728}=$
-0.12
答案
15.-0.12 $\because \sqrt[3]{1.728} = 1.2$,
∴ $1.2^3 = 1.728$. $\because -0.001728 = 1.728 × (-0.001) = 1.2^3 × (-0.1)^3 = [1.2 × (-0.1)]^3 = (-0.12)^3$,
∴ $\sqrt[3]{-0.001728} = -0.12$.
∴ $1.2^3 = 1.728$. $\because -0.001728 = 1.728 × (-0.001) = 1.2^3 × (-0.1)^3 = [1.2 × (-0.1)]^3 = (-0.12)^3$,
∴ $\sqrt[3]{-0.001728} = -0.12$.
解析
【分析】
解题时先回忆立方根的核心性质：一是负数的立方根仍为负数；二是当被开方数的小数点向左/向右移动3位时，其立方根的小数点会对应向左/向右移动1位。已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$，首先确定所求立方根的符号为负，再观察被开方数的绝对值0.001728是将1.728的小数点向左移动3位得到的，因此对应立方根的小数点要向左移动1位，即可快速得出结果，也可通过乘方与开方互逆的关系结合积的乘方法则推导。
【解析】
$\because \sqrt[3]{1.728} = 1.2$
$\therefore 1.2^3 = 1.728$
又$\because -0.001728 = 1.728 × (-0.001) = 1.2^3 × (-0.1)^3 = [1.2 × (-0.1)]^3 = (-0.12)^3$
$\therefore \sqrt[3]{-0.001728} = -0.12$
【答案】
$-0.12$
【知识点】
立方根的性质；积的乘方逆运算
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查立方根性质的应用，解题关键是掌握乘方与开方的互逆关系，以及被开方数和立方根的小数点移动对应规律，解题时注意不要遗漏负数立方根的负号。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆立方根的核心性质：一是负数的立方根仍为负数；二是当被开方数的小数点向左/向右移动3位时，其立方根的小数点会对应向左/向右移动1位。已知$\sqrt[3]{1.728}=1.2$，首先确定所求立方根的符号为负，再观察被开方数的绝对值0.001728是将1.728的小数点向左移动3位得到的，因此对应立方根的小数点要向左移动1位，即可快速得出结果，也可通过乘方与开方互逆的关系结合积的乘方法则推导。
【解析】
$\because \sqrt[3]{1.728} = 1.2$
$\therefore 1.2^3 = 1.728$
又$\because -0.001728 = 1.728 × (-0.001) = 1.2^3 × (-0.1)^3 = [1.2 × (-0.1)]^3 = (-0.12)^3$
$\therefore \sqrt[3]{-0.001728} = -0.12$
【答案】
$-0.12$
【知识点】
立方根的性质；积的乘方逆运算
【点评】
本题属于基础类题目，主要考查立方根性质的应用，解题关键是掌握乘方与开方的互逆关系，以及被开方数和立方根的小数点移动对应规律，解题时注意不要遗漏负数立方根的负号。
【难度系数】
0.85
16. 规定:用$(a,b)$表示一个数对,记$m=\sqrt[3]{a},n=-\sqrt{b}(b＞0)$,将$(m,n)$和$(n,m)$称为数对$(a,b)$的一对“开方对称数对”.例:数对$(8,25)$的“开方对称数对”为$(2,-5)$和$(-5,2)$.
(1)数对$(27,16)$的“开方对称数对”为________和________;
(2)若数对$(x,6)$的一个“开方对称数对”是$(-\sqrt{6},\frac{3}{2})$,则$x=\_\_\_\_\_\_$;
(3)若数对$(a,b)$的一个“开方对称数对”是$(-4,-5)$,求$a+b$的值.
(1)数对$(27,16)$的“开方对称数对”为________和________;
(2)若数对$(x,6)$的一个“开方对称数对”是$(-\sqrt{6},\frac{3}{2})$,则$x=\_\_\_\_\_\_$;
(3)若数对$(a,b)$的一个“开方对称数对”是$(-4,-5)$,求$a+b$的值.
答案
解:(1)$(3,-4)$ $(-4,3)$
由数对$(27,16)$,得$a=27,b=16$,
∴ $m = \sqrt[3]{27} = 3$,$n = -\sqrt{16} = -4$,
∴ 数对$(27,16)$的“开方对称数对”为$(3,-4)$和$(-4,3)$.
(2)$\frac{27}{8}$
由数对$(x,6)$,得$a=x,b=6$,
∴ $m = \sqrt[3]{x}$,$n = -\sqrt{6}$,
∴ 数对$(x,6)$的“开方对称数对”为$(\sqrt[3]{x},-\sqrt{6})$和$(-\sqrt{6},\sqrt[3]{x})$. $\because$ 数对$(x,6)$的一个“开方对称数对”是$(-\sqrt{6},\frac{3}{2})$,
∴ $\sqrt[3]{x} = \frac{3}{2}$,
∴ $x = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.
(3)$\because$ 数对$(a,b)$的一个“开方对称数对”是$(-4,-5)$,
∴ $\sqrt[3]{a} = -4$,$-\sqrt{b} = -5$或$\sqrt[3]{a} = -5$,$-\sqrt{b} = -4$,
∴ $a = -64$,$b = 25$或$a = -125$,$b = 16$,
∴ $a + b = -64 + 25 = -39$或$a + b = -125 + 16 = -109$,
即$a + b$的值为-39或-109.
由数对$(27,16)$,得$a=27,b=16$,
∴ $m = \sqrt[3]{27} = 3$,$n = -\sqrt{16} = -4$,
∴ 数对$(27,16)$的“开方对称数对”为$(3,-4)$和$(-4,3)$.
(2)$\frac{27}{8}$
由数对$(x,6)$,得$a=x,b=6$,
∴ $m = \sqrt[3]{x}$,$n = -\sqrt{6}$,
∴ 数对$(x,6)$的“开方对称数对”为$(\sqrt[3]{x},-\sqrt{6})$和$(-\sqrt{6},\sqrt[3]{x})$. $\because$ 数对$(x,6)$的一个“开方对称数对”是$(-\sqrt{6},\frac{3}{2})$,
∴ $\sqrt[3]{x} = \frac{3}{2}$,
∴ $x = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$.
(3)$\because$ 数对$(a,b)$的一个“开方对称数对”是$(-4,-5)$,
∴ $\sqrt[3]{a} = -4$,$-\sqrt{b} = -5$或$\sqrt[3]{a} = -5$,$-\sqrt{b} = -4$,
∴ $a = -64$,$b = 25$或$a = -125$,$b = 16$,
∴ $a + b = -64 + 25 = -39$或$a + b = -125 + 16 = -109$,
即$a + b$的值为-39或-109.
解析
【分析】
首先准确理解“开方对称数对”的定义：对于数对$(a,b)$，先计算$m=\sqrt[3]{a}$，$n=-\sqrt{b}$（$b＞0$），则它的一对“开方对称数对”为$(m,n)$和$(n,m)$。解题时按照定义分步处理：
(1) 直接代入$a=27$，$b=16$，分别计算$m$、$n$，再写出两个对称数对即可；
(2) 先写出数对$(x,6)$对应的$m$、$n$，对比给出的对称数对，找到对应关系求出$\sqrt[3]{x}$，再立方得到$x$的值；
(3) 已知一个开方对称数对，需分两种情况讨论：第一种是数对第一个数为$m$、第二个为$n$，第二种是第一个为$n$、第二个为$m$，分别求出$a$、$b$的值后计算$a+b$即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于数对$(27,16)$，$a=27$，$b=16$，
∴ $m=\sqrt[3]{27}=3$，$n=-\sqrt{16}=-4$，
根据定义，数对$(27,16)$的“开方对称数对”为$(3,-4)$和$(-4,3)$。
(2) 对于数对$(x,6)$，$a=x$，$b=6$，
∴ $m=\sqrt[3]{x}$，$n=-\sqrt{6}$，
则它的开方对称数对为$(\sqrt[3]{x}, -\sqrt{6})$和$(-\sqrt{6}, \sqrt[3]{x})$，
已知其中一个对称数对是$(-\sqrt{6}, \frac{3}{2})$，对应可得$\sqrt[3]{x}=\frac{3}{2}$，
∴ $x=(\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$。
(3) 已知数对$(a,b)$的一个开方对称数对是$(-4,-5)$，分两种情况讨论：
① 当$m=-4$，$n=-5$时，即$\sqrt[3]{a}=-4$，$-\sqrt{b}=-5$，
解得$a=(-4)^3=-64$，$b=5^2=25$，此时$a+b=-64+25=-39$；
② 当$n=-4$，$m=-5$时，即$-\sqrt{b}=-4$，$\sqrt[3]{a}=-5$，
解得$b=4^2=16$，$a=(-5)^3=-125$，此时$a+b=-125+16=-109$。
综上，$a+b$的值为$-39$或$-109$。
【答案】
(1) $(3,-4)$，$(-4,3)$；(2) $\frac{27}{8}$；(3) $-39$或$-109$
【知识点】
新定义运算，立方根计算，算术平方根计算
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合根式的运算性质求解。解题时需注意第三问要分类讨论两种数对的对应情况，避免漏解，能有效考查对新概念的理解能力和根式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
首先准确理解“开方对称数对”的定义：对于数对$(a,b)$，先计算$m=\sqrt[3]{a}$，$n=-\sqrt{b}$（$b＞0$），则它的一对“开方对称数对”为$(m,n)$和$(n,m)$。解题时按照定义分步处理：
(1) 直接代入$a=27$，$b=16$，分别计算$m$、$n$，再写出两个对称数对即可；
(2) 先写出数对$(x,6)$对应的$m$、$n$，对比给出的对称数对，找到对应关系求出$\sqrt[3]{x}$，再立方得到$x$的值；
(3) 已知一个开方对称数对，需分两种情况讨论：第一种是数对第一个数为$m$、第二个为$n$，第二种是第一个为$n$、第二个为$m$，分别求出$a$、$b$的值后计算$a+b$即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 对于数对$(27,16)$，$a=27$，$b=16$，
∴ $m=\sqrt[3]{27}=3$，$n=-\sqrt{16}=-4$，
根据定义，数对$(27,16)$的“开方对称数对”为$(3,-4)$和$(-4,3)$。
(2) 对于数对$(x,6)$，$a=x$，$b=6$，
∴ $m=\sqrt[3]{x}$，$n=-\sqrt{6}$，
则它的开方对称数对为$(\sqrt[3]{x}, -\sqrt{6})$和$(-\sqrt{6}, \sqrt[3]{x})$，
已知其中一个对称数对是$(-\sqrt{6}, \frac{3}{2})$，对应可得$\sqrt[3]{x}=\frac{3}{2}$，
∴ $x=(\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$。
(3) 已知数对$(a,b)$的一个开方对称数对是$(-4,-5)$，分两种情况讨论：
① 当$m=-4$，$n=-5$时，即$\sqrt[3]{a}=-4$，$-\sqrt{b}=-5$，
解得$a=(-4)^3=-64$，$b=5^2=25$，此时$a+b=-64+25=-39$；
② 当$n=-4$，$m=-5$时，即$-\sqrt{b}=-4$，$\sqrt[3]{a}=-5$，
解得$b=4^2=16$，$a=(-5)^3=-125$，此时$a+b=-125+16=-109$。
综上，$a+b$的值为$-39$或$-109$。
【答案】
(1) $(3,-4)$，$(-4,3)$；(2) $\frac{27}{8}$；(3) $-39$或$-109$
【知识点】
新定义运算，立方根计算，算术平方根计算
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解新定义的运算规则，结合根式的运算性质求解。解题时需注意第三问要分类讨论两种数对的对应情况，避免漏解，能有效考查对新概念的理解能力和根式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.7
17. 应用意识 [2026 无锡湖滨中学月考] 小明在学完立方根后研究了如下问题:如何求 -50 653 的立方根？他进行了如下步骤.
①估算:∵ $10^3 = 1000,100^3 = 1000000$,
∴ $\sqrt[3]{50653}$ 是两位数.
②观察立方数: $1^3 =1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$, 猜想 $\sqrt[3]{50653}$ 的个位数字是7.
③将50 653的小数点向左移动3位后约为50,∵ $3^3=27,4^3=64,∴ \sqrt[3]{50653}$ 的十位数字应为3,∴ 猜想 $\sqrt[3]{50653}=37$. 验证: $37^3=50653,∴50653$ 的立方根是37.
④依据“负数的立方根是负数”得到 $\sqrt[3]{-50653}=-37$, 同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数,反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列问题:
(1) $\sqrt[3]{-117649} =$
(2)若 $\sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5}=0$, 则 $x=$
(3)已知 $\sqrt[3]{x-2} +2 =x$, 且 $\sqrt[3]{3y-1}$ 与 $\sqrt[3]{1-2x}$ 互为相反数,求 $x,y$ 的值.
①估算:∵ $10^3 = 1000,100^3 = 1000000$,
∴ $\sqrt[3]{50653}$ 是两位数.
②观察立方数: $1^3 =1,2^3=8,3^3=27,4^3=64,5^3=125,6^3=216,7^3=343,8^3=512,9^3=729$, 猜想 $\sqrt[3]{50653}$ 的个位数字是7.
③将50 653的小数点向左移动3位后约为50,∵ $3^3=27,4^3=64,∴ \sqrt[3]{50653}$ 的十位数字应为3,∴ 猜想 $\sqrt[3]{50653}=37$. 验证: $37^3=50653,∴50653$ 的立方根是37.
④依据“负数的立方根是负数”得到 $\sqrt[3]{-50653}=-37$, 同时发现结论:若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数,反之也成立.
请你根据小明的方法和结论,完成下列问题:
(1) $\sqrt[3]{-117649} =$
-49
;(2)若 $\sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5}=0$, 则 $x=$
3
;(3)已知 $\sqrt[3]{x-2} +2 =x$, 且 $\sqrt[3]{3y-1}$ 与 $\sqrt[3]{1-2x}$ 互为相反数,求 $x,y$ 的值.
答案
解:(1)-49
$\because 10^3 = 1\ 000$,$100^3 = 1\ 000\ 000$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$是两位数. $\because 1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,$4^3 = 64$,$5^3 = 125$,$6^3 = 216$,$7^3 = 343$,$8^3 = 512$,$9^3 = 729$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$的个位数字是9. $\because$ 将117 649的小数点向左移动3位后约为117,$\because 4^3 = 64$,$5^3 = 125$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$的十位数字应为4,
∴ 猜想117 649的立方根是49. 验证:$49^3 = 117\ 649$,
∴ 117 649的立方根是49. $\because$ 若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数,
∴ $\sqrt[3]{-117\ 649} = -49$.
(2)3
$\because \sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5} = 0$,
∴ $1 - 2x = -5$,解得$x = 3$.
(3)$\because \sqrt[3]{x-2} + 2 = x$,
∴ $\sqrt[3]{x-2} = x - 2$,
∴ $x - 2 = 0$,$x - 2 = -1$或$x - 2 = 1$,
解得$x = 2$,$1$或$3$.
$\because \sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
∴ $3y - 1 = 2x - 1$.
当$x=2$时,$3y - 1 = 3$,解得$y = \frac{4}{3}$;
当$x=1$时,$3y - 1 = 1$,解得$y = \frac{2}{3}$;
当$x=3$时,$3y - 1 = 5$,解得$y = 2$.
综上所述,$x=2$时,$y=\frac{4}{3}$;$x=1$时,$y=\frac{2}{3}$;$x=3$时,$y=2$.
$\because 10^3 = 1\ 000$,$100^3 = 1\ 000\ 000$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$是两位数. $\because 1^3 = 1$,$2^3 = 8$,$3^3 = 27$,$4^3 = 64$,$5^3 = 125$,$6^3 = 216$,$7^3 = 343$,$8^3 = 512$,$9^3 = 729$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$的个位数字是9. $\because$ 将117 649的小数点向左移动3位后约为117,$\because 4^3 = 64$,$5^3 = 125$,
∴ $\sqrt[3]{117\ 649}$的十位数字应为4,
∴ 猜想117 649的立方根是49. 验证:$49^3 = 117\ 649$,
∴ 117 649的立方根是49. $\because$ 若两个数互为相反数,则这两个数的立方根也互为相反数,
∴ $\sqrt[3]{-117\ 649} = -49$.
(2)3
$\because \sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5} = 0$,
∴ $1 - 2x = -5$,解得$x = 3$.
(3)$\because \sqrt[3]{x-2} + 2 = x$,
∴ $\sqrt[3]{x-2} = x - 2$,
∴ $x - 2 = 0$,$x - 2 = -1$或$x - 2 = 1$,
解得$x = 2$,$1$或$3$.
$\because \sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数,
∴ $3y - 1 = 2x - 1$.
当$x=2$时,$3y - 1 = 3$,解得$y = \frac{4}{3}$;
当$x=1$时,$3y - 1 = 1$,解得$y = \frac{2}{3}$;
当$x=3$时,$3y - 1 = 5$,解得$y = 2$.
综上所述,$x=2$时,$y=\frac{4}{3}$;$x=1$时,$y=\frac{2}{3}$;$x=3$时,$y=2$.
解析
【分析】
本题属于材料阅读应用型题目，解题思路如下：
1. 第(1)问模仿题目给出的立方根估算步骤：先确定正数117649的立方根位数，再通过1~9的立方数的个位特征确定立方根的个位数字，接着将被开方数小数点左移3位确定十位数字，得到正的立方根后，利用“互为相反数的两个数立方根也互为相反数”得到负数的立方根。
2. 第(2)问根据“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”，将立方根的等式转化为被开方数的等式，解一元一次方程即可得到x的值。
3. 第(3)问先将含x的等式变形为“一个数的立方根等于它本身”的形式，根据立方根等于自身的数为0、1、-1求出所有x的可能值，再利用立方根互为相反数的性质列出y与x的关系式，分别代入x的取值即可求出对应的y值。
【解析】
(1) 先求$\sqrt[3]{117649}$的值：
∵ $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，
∴ $\sqrt[3]{117649}$是两位数。
观察1~9的立方数的个位特征，只有$9^3=729$的个位是9，
∴ $\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9。
将117649的小数点向左移动3位后约为117，
∵ $4^3=64$，$5^3=125$，
∴ $\sqrt[3]{117649}$的十位数字为4，验证得$49^3=117649$，即$\sqrt[3]{117649}=49$。
根据“互为相反数的两个数的立方根也互为相反数”，得$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2)
∵ $\sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5} = 0$，即$\sqrt[3]{1-2x} = \sqrt[3]{-5}$，
∴ 被开方数相等，即$1-2x = -5$，
解得$x=3$。
(3) 先求解x的值：
将$\sqrt[3]{x-2} + 2 =x$变形，得$\sqrt[3]{x-2} = x-2$，
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ $x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵ $\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，
∴ $3y-1$与$1-2x$互为相反数，即$3y-1 = 2x-1$，整理得$y=\frac{2x}{3}$。
分别代入x的取值：
当$x=1$时，$y=\frac{2}{3}$；
当$x=2$时，$y=\frac{4}{3}$；
当$x=3$时，$y=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-49}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{x=1,y=\frac{2}{3}}$；$\boldsymbol{x=2,y=\frac{4}{3}}$；$\boldsymbol{x=3,y=2}$
【知识点】
立方根的估算、立方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是材料类应用题型，重点考查对新方法的迁移运用能力，需要先读懂给出的立方根估算步骤，再结合立方根的相关性质求解方程，解题时注意不要漏写立方根等于本身的三类数，避免丢解。
【难度系数】
0.65
本题属于材料阅读应用型题目，解题思路如下：
1. 第(1)问模仿题目给出的立方根估算步骤：先确定正数117649的立方根位数，再通过1~9的立方数的个位特征确定立方根的个位数字，接着将被开方数小数点左移3位确定十位数字，得到正的立方根后，利用“互为相反数的两个数立方根也互为相反数”得到负数的立方根。
2. 第(2)问根据“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”，将立方根的等式转化为被开方数的等式，解一元一次方程即可得到x的值。
3. 第(3)问先将含x的等式变形为“一个数的立方根等于它本身”的形式，根据立方根等于自身的数为0、1、-1求出所有x的可能值，再利用立方根互为相反数的性质列出y与x的关系式，分别代入x的取值即可求出对应的y值。
【解析】
(1) 先求$\sqrt[3]{117649}$的值：
∵ $10^3 = 1000$，$100^3 = 1000000$，
∴ $\sqrt[3]{117649}$是两位数。
观察1~9的立方数的个位特征，只有$9^3=729$的个位是9，
∴ $\sqrt[3]{117649}$的个位数字是9。
将117649的小数点向左移动3位后约为117，
∵ $4^3=64$，$5^3=125$，
∴ $\sqrt[3]{117649}$的十位数字为4，验证得$49^3=117649$，即$\sqrt[3]{117649}=49$。
根据“互为相反数的两个数的立方根也互为相反数”，得$\sqrt[3]{-117649}=-49$。
(2)
∵ $\sqrt[3]{1-2x} + \sqrt[3]{5} = 0$，即$\sqrt[3]{1-2x} = \sqrt[3]{-5}$，
∴ 被开方数相等，即$1-2x = -5$，
解得$x=3$。
(3) 先求解x的值：
将$\sqrt[3]{x-2} + 2 =x$变形，得$\sqrt[3]{x-2} = x-2$，
∵ 立方根等于本身的数为0、1、-1，
∴ $x-2=0$或$x-2=1$或$x-2=-1$，
解得$x=2$或$x=3$或$x=1$。
∵ $\sqrt[3]{3y-1}$与$\sqrt[3]{1-2x}$互为相反数，
∴ $3y-1$与$1-2x$互为相反数，即$3y-1 = 2x-1$，整理得$y=\frac{2x}{3}$。
分别代入x的取值：
当$x=1$时，$y=\frac{2}{3}$；
当$x=2$时，$y=\frac{4}{3}$；
当$x=3$时，$y=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-49}$
(2) $\boldsymbol{3}$
(3) $\boldsymbol{x=1,y=\frac{2}{3}}$；$\boldsymbol{x=2,y=\frac{4}{3}}$；$\boldsymbol{x=3,y=2}$
【知识点】
立方根的估算、立方根的性质、一元一次方程的解法
【点评】
本题是材料类应用题型，重点考查对新方法的迁移运用能力，需要先读懂给出的立方根估算步骤，再结合立方根的相关性质求解方程，解题时注意不要漏写立方根等于本身的三类数，避免丢解。
【难度系数】
0.65
1. [2026徐州模拟]已知$a - 3$和$9 + 2a$是一个正数的两个平方根,$3b + 6$的立方根是3,则$b - a$的算术平方根是
3
.答案
1.3 $\because a - 3$和$9 + 2a$是一个正数的两个平方根,
∴ $a - 3 + 9 + 2a = 0$,解得$a = -2$. 又$\because 3b + 6$的立方根是3,
∴ $3b + 6 = 27$,解得$b = 7$,
∴ $b - a = 7 + 2 = 9$,
∴ $b - a$的算术平方根$\sqrt{9} = 3$.
∴ $a - 3 + 9 + 2a = 0$,解得$a = -2$. 又$\because 3b + 6$的立方根是3,
∴ $3b + 6 = 27$,解得$b = 7$,
∴ $b - a = 7 + 2 = 9$,
∴ $b - a$的算术平方根$\sqrt{9} = 3$.
解析
【分析】
解题时首先利用正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，可列方程求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，列方程求出b的值；接着计算b-a的结果，最后根据算术平方根的定义求出最终结果即可。
【解析】
解：
∵a - 3和9 + 2a是一个正数的两个平方根，正数的两个平方根互为相反数
∴ $a - 3 + 9 + 2a = 0$
合并同类项得$3a+6=0$，解得$a = -2$。
又
∵$3b + 6$的立方根是3，根据立方根定义可得
$3b + 6 = 3^3=27$
移项计算得$3b=21$，解得$b = 7$，
∴ $b - a = 7 - (-2) = 9$，
∵9的算术平方根为$\sqrt{9} = 3$，
∴$b - a$的算术平方根是3。
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查平方根、立方根、算术平方根的相关性质与定义，熟练掌握各类根式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根相加和为0，可列方程求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是3，则这个数等于3的立方，列方程求出b的值；接着计算b-a的结果，最后根据算术平方根的定义求出最终结果即可。
【解析】
解：
∵a - 3和9 + 2a是一个正数的两个平方根，正数的两个平方根互为相反数
∴ $a - 3 + 9 + 2a = 0$
合并同类项得$3a+6=0$，解得$a = -2$。
又
∵$3b + 6$的立方根是3，根据立方根定义可得
$3b + 6 = 3^3=27$
移项计算得$3b=21$，解得$b = 7$，
∴ $b - a = 7 - (-2) = 9$，
∵9的算术平方根为$\sqrt{9} = 3$，
∴$b - a$的算术平方根是3。
【答案】
3
【知识点】
平方根的性质，立方根的定义，算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查平方根、立方根、算术平方根的相关性质与定义，熟练掌握各类根式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. [2026扬州模拟]已知$A = \sqrt[4a - b - 3]{a + 2}$是$a + 2$的算术平方根，$B = \sqrt[3a + 2b - 9]{2 - b}$是$2 - b$的立方根，求$A + B$的立方根。
答案
解:由题意,得$4a - b - 3 = 2$,$3a + 2b - 9 = 3$,
解得$a = 2$,$b = 3$,
可得$A = \sqrt{2 + 2} = 2$,$B = \sqrt[3]{2 - 3} = -1$,
∴ $A + B = 1$,
∴ $A + B$的立方根是1.
解得$a = 2$,$b = 3$,
可得$A = \sqrt{2 + 2} = 2$,$B = \sqrt[3]{2 - 3} = -1$,
∴ $A + B = 1$,
∴ $A + B$的立方根是1.
解析
【分析】
解题时首先明确算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，据此可列出关于a、b的二元一次方程组；解方程组得到a、b的取值后，代入A、B的表达式求出A、B的具体值；最后计算A+B的和，再求该和的立方根即可。
【解析】
由题意，算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，可得方程组：
$\begin{cases}4a - b - 3 = 2 \\3a + 2b - 9 = 3\end{cases}$
整理得$\begin{cases}4a - b = 5&① \\3a + 2b = 12&②\end{cases}$
①×2+②得：$11a=22$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①得：$8 - b = 5$，解得$b=3$。
将$a=2$代入A的表达式：$A=\sqrt{a+2}=\sqrt{2+2}=2$
将$b=3$代入B的表达式：$B=\sqrt[3]{2-b}=\sqrt[3]{2-3}=-1$
则$A+B=2+(-1)=1$，1的立方根为1。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根定义，立方根定义，解二元一次方程组
【点评】
本题考查根式基础概念的应用，解题核心是抓住算术平方根、立方根的根指数特征列方程求解参数，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，据此可列出关于a、b的二元一次方程组；解方程组得到a、b的取值后，代入A、B的表达式求出A、B的具体值；最后计算A+B的和，再求该和的立方根即可。
【解析】
由题意，算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3，可得方程组：
$\begin{cases}4a - b - 3 = 2 \\3a + 2b - 9 = 3\end{cases}$
整理得$\begin{cases}4a - b = 5&① \\3a + 2b = 12&②\end{cases}$
①×2+②得：$11a=22$，解得$a=2$。
把$a=2$代入①得：$8 - b = 5$，解得$b=3$。
将$a=2$代入A的表达式：$A=\sqrt{a+2}=\sqrt{2+2}=2$
将$b=3$代入B的表达式：$B=\sqrt[3]{2-b}=\sqrt[3]{2-3}=-1$
则$A+B=2+(-1)=1$，1的立方根为1。
【答案】
1
【知识点】
算术平方根定义，立方根定义，解二元一次方程组
【点评】
本题考查根式基础概念的应用，解题核心是抓住算术平方根、立方根的根指数特征列方程求解参数，整体计算量小，掌握基础概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
方根是$\pm 2$，$a - 2b - 7$的立方根是$-2$.
(1)求$a,b$的值.
(2)求$2ab + 15$的立方根.
(1)求$a,b$的值.
(2)求$2ab + 15$的立方根.
答案
解:(1)$\because 3a - 5$的平方根是$\pm 2$,
∴ $3a - 5 = 4$,解得$a = 3$.
$\because a - 2b - 7$的立方根是$-2$,
∴ $a - 2b - 7 = 3 - 2b - 7 = -8$,解得$b = 2$.
(2)$2ab + 15 = 2 × 3 × 2 + 15 = 27$.
$\because \sqrt[3]{27} = 3$,
∴ $2ab + 15$的立方根是3.
∴ $3a - 5 = 4$,解得$a = 3$.
$\because a - 2b - 7$的立方根是$-2$,
∴ $a - 2b - 7 = 3 - 2b - 7 = -8$,解得$b = 2$.
(2)$2ab + 15 = 2 × 3 × 2 + 15 = 27$.
$\because \sqrt[3]{27} = 3$,
∴ $2ab + 15$的立方根是3.
解析
【分析】
解决本题要利用乘方和开方互为逆运算的关系推导：
第(1)问，先根据平方根的性质：若一个数的平方根是±2，则这个数等于2的平方，据此列关于a的方程求出a的值；再根据立方根的性质：若一个数的立方根是-2，则这个数等于-2的立方，将求出的a代入该式，列关于b的方程即可求出b的值。
第(2)问，将a、b的值代入2ab+15算出结果，再根据立方根的定义求该结果的立方根即可。
【解析】
(1) $\because 3a - 5$的平方根是$\pm 2$，根据平方根的性质，平方根的平方等于被开方数，可得：
$3a - 5 = (\pm 2)^2 = 4$
解得$3a=9$，即$a=3$。
$\because a - 2b - 7$的立方根是$-2$，根据立方根的性质，立方根的立方等于被开方数，可得：
$a - 2b - 7 = (-2)^3 = -8$
把$a=3$代入上式：$3 - 2b - 7 = -8$
整理得$-2b=-4$，解得$b=2$。
(2) 把$a=3$，$b=2$代入$2ab+15$得：
$2ab + 15 = 2×3×2 +15 = 12 +15 =27$
$\because \sqrt[3]{27}=3$，$\therefore 2ab+15$的立方根是3。
【答案】
(1) $a=3$，$b=2$；
(2) 3
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是理解开方与乘方互为逆运算，熟练运用平方根和立方根的性质列方程求解未知数，代入计算时注意运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.7
解决本题要利用乘方和开方互为逆运算的关系推导：
第(1)问，先根据平方根的性质：若一个数的平方根是±2，则这个数等于2的平方，据此列关于a的方程求出a的值；再根据立方根的性质：若一个数的立方根是-2，则这个数等于-2的立方，将求出的a代入该式，列关于b的方程即可求出b的值。
第(2)问，将a、b的值代入2ab+15算出结果，再根据立方根的定义求该结果的立方根即可。
【解析】
(1) $\because 3a - 5$的平方根是$\pm 2$，根据平方根的性质，平方根的平方等于被开方数，可得：
$3a - 5 = (\pm 2)^2 = 4$
解得$3a=9$，即$a=3$。
$\because a - 2b - 7$的立方根是$-2$，根据立方根的性质，立方根的立方等于被开方数，可得：
$a - 2b - 7 = (-2)^3 = -8$
把$a=3$代入上式：$3 - 2b - 7 = -8$
整理得$-2b=-4$，解得$b=2$。
(2) 把$a=3$，$b=2$代入$2ab+15$得：
$2ab + 15 = 2×3×2 +15 = 12 +15 =27$
$\because \sqrt[3]{27}=3$，$\therefore 2ab+15$的立方根是3。
【答案】
(1) $a=3$，$b=2$；
(2) 3
【知识点】
平方根的性质，立方根的性质，代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是理解开方与乘方互为逆运算，熟练运用平方根和立方根的性质列方程求解未知数，代入计算时注意运算顺序即可正确解答。
【难度系数】
0.7
