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10 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,3)$,$B(n,3)$,若直线$y=2x$与线段$AB$有公共点,则$n$的值不可能是（
A.$\frac{5}{4}$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
（第10题）
A
）A.$\frac{5}{4}$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
（第10题）答案
10. A
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标均为3，因此线段AB是平行于x轴的直线y=3上的线段。要判断直线y=2x与线段AB是否有公共点，先求出直线y=2x和直线y=3的交点横坐标；再结合A点横坐标小于交点横坐标的特点，可知只要B点横坐标大于等于交点横坐标，线段AB就与y=2x有公共点，反之则无公共点，据此判断选项即可。
【解析】
∵点$A(1,3)$，$B(n,3)$纵坐标相同，
∴线段$AB$所在直线的解析式为$y=3$。
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=3\end{cases}$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$，即直线$y=2x$与直线$y=3$的交点坐标为$(1.5,3)$。
若直线$y=2x$与线段$AB$有公共点，则交点$(1.5,3)$需在线段$AB$上。
∵点A的横坐标为$1＜1.5$，
∴B点横坐标需满足$n≥1.5$。
对各选项判断：
A. $\frac{5}{4}=1.25＜1.5$，不符合要求；
B. $2≥1.5$，符合要求；
C. $3≥1.5$，符合要求；
D. $4≥1.5$，符合要求。
因此$n$的值不可能是$\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质，一次函数交点求解，坐标与图形性质
【点评】
本题核心是通过坐标特征确定线段所在直线解析式，先求两直线交点，再结合线段范围判断参数取值，是正比例函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
首先观察点A、B的坐标特征，两点纵坐标均为3，因此线段AB是平行于x轴的直线y=3上的线段。要判断直线y=2x与线段AB是否有公共点，先求出直线y=2x和直线y=3的交点横坐标；再结合A点横坐标小于交点横坐标的特点，可知只要B点横坐标大于等于交点横坐标，线段AB就与y=2x有公共点，反之则无公共点，据此判断选项即可。
【解析】
∵点$A(1,3)$，$B(n,3)$纵坐标相同，
∴线段$AB$所在直线的解析式为$y=3$。
联立$\begin{cases}y=2x \\ y=3\end{cases}$，解得$x=\frac{3}{2}=1.5$，即直线$y=2x$与直线$y=3$的交点坐标为$(1.5,3)$。
若直线$y=2x$与线段$AB$有公共点，则交点$(1.5,3)$需在线段$AB$上。
∵点A的横坐标为$1＜1.5$，
∴B点横坐标需满足$n≥1.5$。
对各选项判断：
A. $\frac{5}{4}=1.25＜1.5$，不符合要求；
B. $2≥1.5$，符合要求；
C. $3≥1.5$，符合要求；
D. $4≥1.5$，符合要求。
因此$n$的值不可能是$\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的图象与性质，一次函数交点求解，坐标与图形性质
【点评】
本题核心是通过坐标特征确定线段所在直线解析式，先求两直线交点，再结合线段范围判断参数取值，是正比例函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
11 如图是四个正比例函数的图象，则$k_1,k_2,k_3,k_4$的大小关系是 （
A.$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$
B.$k_3＞k_4＞k_1＞k_2$
C.$k_3＞k_4＞k_2＞k_1$
D.$k_4＞k_3＞k_2＞k_1$
B
）A.$k_1＞k_2＞k_3＞k_4$
B.$k_3＞k_4＞k_1＞k_2$
C.$k_3＞k_4＞k_2＞k_1$
D.$k_4＞k_3＞k_2＞k_1$
答案
11. B
解析
【分析】
要判断四个k的大小关系，可分三步思考：第一步，先根据正比例函数图象所在象限判断k的正负：过一、三象限的k为正，过二、四象限的k为负，正数必然大于负数，可先区分开正的k和负的k；第二步，比较正数k的大小：正比例函数中|k|越大，直线越陡（越靠近y轴），正k中越陡的k越大；第三步，比较负数k的大小：同样陡度越大|k|越大，负数的绝对值越大，数值本身越小，最后把所有k按从大到小排序即可。
【解析】
根据正比例函数的性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限，因此$k_3＞0$，$k_4＞0$；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，所以$k_3、k_4$均大于$k_1、k_2$。
2. 正比例函数$y=kx$中，$|k|$越大，图象越靠近y轴（倾斜程度越大）：
（1）正k的两个图象中，$y=k_3x$更陡，因此$k_3＞k_4$；
（2）负k的两个图象中，$y=k_2x$更陡，即$|k_2|＞|k_1|$，根据负数大小比较规则，绝对值大的数更小，因此$k_1＞k_2$。
综上可得大小关系：$k_3＞k_4＞k_1＞k_2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，k值与图象倾斜度的关系，负数大小比较
【点评】
本题是正比例函数性质的典型考题，解题核心是掌握比例系数k的两个意义：k的符号决定图象经过的象限，k的绝对值决定图象的倾斜程度，尤其要注意负k比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.7
要判断四个k的大小关系，可分三步思考：第一步，先根据正比例函数图象所在象限判断k的正负：过一、三象限的k为正，过二、四象限的k为负，正数必然大于负数，可先区分开正的k和负的k；第二步，比较正数k的大小：正比例函数中|k|越大，直线越陡（越靠近y轴），正k中越陡的k越大；第三步，比较负数k的大小：同样陡度越大|k|越大，负数的绝对值越大，数值本身越小，最后把所有k按从大到小排序即可。
【解析】
根据正比例函数的性质：
1. 当$k＞0$时，函数图象经过第一、三象限，因此$k_3＞0$，$k_4＞0$；当$k＜0$时，函数图象经过第二、四象限，因此$k_1＜0$，$k_2＜0$，所以$k_3、k_4$均大于$k_1、k_2$。
2. 正比例函数$y=kx$中，$|k|$越大，图象越靠近y轴（倾斜程度越大）：
（1）正k的两个图象中，$y=k_3x$更陡，因此$k_3＞k_4$；
（2）负k的两个图象中，$y=k_2x$更陡，即$|k_2|＞|k_1|$，根据负数大小比较规则，绝对值大的数更小，因此$k_1＞k_2$。
综上可得大小关系：$k_3＞k_4＞k_1＞k_2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，k值与图象倾斜度的关系，负数大小比较
【点评】
本题是正比例函数性质的典型考题，解题核心是掌握比例系数k的两个意义：k的符号决定图象经过的象限，k的绝对值决定图象的倾斜程度，尤其要注意负k比较大小时不要搞反大小关系。
【难度系数】
0.7
12 已知点$A(-3,a),B(5,b)$均在正比例函数$y=(m-4)x+2-m$的图象上,则$a$
＞
$b$.（填“＞”“＜”或“=”）答案
12. ＞
解析
【分析】
要比较a和b的大小，本质是比较两个点的函数值大小，需先确定正比例函数的增减性。首先根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可知题干中函数的常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此先求出$m$的值，再判断一次项系数的正负，明确函数的增减性，最后结合A、B两点横坐标的大小即可推出$a$、$b$的大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(m-4)x+2-m$是正比例函数，
∴根据正比例函数的定义可得：$\begin{cases}2-m=0 \\ m-4≠0 \end{cases}$，
解得$m=2$，
代入得函数解析式为$y=(2-4)x=-2x$，
∵一次项系数$k=-2＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∵点A的横坐标为$-3$，点B的横坐标为$5$，$-3＜5$，
∴对应的函数值$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础考查题，解题的关键是牢记正比例函数的特征，先通过定义求出参数确定函数增减性，再结合自变量大小比较函数值，解题时需注意正比例函数一次项系数不为0的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
要比较a和b的大小，本质是比较两个点的函数值大小，需先确定正比例函数的增减性。首先根据正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，可知题干中函数的常数项必须为0，且一次项系数不为0，据此先求出$m$的值，再判断一次项系数的正负，明确函数的增减性，最后结合A、B两点横坐标的大小即可推出$a$、$b$的大小关系。
【解析】
解：
∵$y=(m-4)x+2-m$是正比例函数，
∴根据正比例函数的定义可得：$\begin{cases}2-m=0 \\ m-4≠0 \end{cases}$，
解得$m=2$，
代入得函数解析式为$y=(2-4)x=-2x$，
∵一次项系数$k=-2＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
∵点A的横坐标为$-3$，点B的横坐标为$5$，$-3＜5$，
∴对应的函数值$a＞b$。
【答案】
＞
【知识点】
正比例函数的定义；正比例函数的增减性
【点评】
本题属于基础考查题，解题的关键是牢记正比例函数的特征，先通过定义求出参数确定函数增减性，再结合自变量大小比较函数值，解题时需注意正比例函数一次项系数不为0的隐含限制条件。
【难度系数】
0.8
13（2025南通如皋月考）如图，在平面直角坐标系$xOy$中，$M$是直线$y=-2x$上的动点，过点$M$作$MN⊥x$轴，交直线$y=x$于点$N$，当$MN≤6$时，设点$M$的横坐标为$m$，则$m$的取值范围为
$-2≤ m≤2$
。答案
13. $-2≤ m≤2$
解析
【分析】
解题时首先根据点M在正比例函数y=-2x上且横坐标为m，写出点M的坐标；再结合MN垂直x轴的性质，得到点N的横坐标与M相同，进而根据点N在y=x上写出N的坐标；由于横坐标相同的两点间的距离等于纵坐标差的绝对值，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M的横坐标为m，且M在直线$y=-2x$上，
∴点M的坐标为$(m, -2m)$，
∵$MN⊥x$轴，且N在直线$y=x$上，
∴点N的横坐标与M相同为m，代入$y=x$得N的坐标为$(m, m)$，
∴线段MN的长度为两点纵坐标差的绝对值，即：
$MN=|y_M - y_N|=|-2m - m|=|{-3m}|=3|m|$，
根据题意$MN≤6$，可得：
$3|m|≤6$，
两边同时除以3得$|m|≤2$，
根据绝对值的意义，解得$-2≤m≤2$。
【答案】
$-2≤ m≤2$
【知识点】
正比例函数点的坐标特征；坐标系中线段长度计算；解绝对值不等式
【点评】
本题是正比例函数与不等式结合的基础题，解题关键是明确垂直于x轴的直线上所有点横坐标相等，将线段长度转化为两点纵坐标差的绝对值，不要忽略绝对值符号避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据点M在正比例函数y=-2x上且横坐标为m，写出点M的坐标；再结合MN垂直x轴的性质，得到点N的横坐标与M相同，进而根据点N在y=x上写出N的坐标；由于横坐标相同的两点间的距离等于纵坐标差的绝对值，据此列出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵点M的横坐标为m，且M在直线$y=-2x$上，
∴点M的坐标为$(m, -2m)$，
∵$MN⊥x$轴，且N在直线$y=x$上，
∴点N的横坐标与M相同为m，代入$y=x$得N的坐标为$(m, m)$，
∴线段MN的长度为两点纵坐标差的绝对值，即：
$MN=|y_M - y_N|=|-2m - m|=|{-3m}|=3|m|$，
根据题意$MN≤6$，可得：
$3|m|≤6$，
两边同时除以3得$|m|≤2$，
根据绝对值的意义，解得$-2≤m≤2$。
【答案】
$-2≤ m≤2$
【知识点】
正比例函数点的坐标特征；坐标系中线段长度计算；解绝对值不等式
【点评】
本题是正比例函数与不等式结合的基础题，解题关键是明确垂直于x轴的直线上所有点横坐标相等，将线段长度转化为两点纵坐标差的绝对值，不要忽略绝对值符号避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
14 如图,在平面直角坐标系中,点$A(0,4),B(-2,0)$,点$D$在第一象限内,$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点$C$.
(1) 求四边形$ABCD$的面积;
(2) 已知直线$y=x$交$AD$于点$E$,点$P$在线段$OE$上.
①若$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$,求点$P$的坐标;
②设$n=PC+PD$,直接写出$n$的最小值.
(1) 求四边形$ABCD$的面积;
(2) 已知直线$y=x$交$AD$于点$E$,点$P$在线段$OE$上.
①若$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}$,求点$P$的坐标;
②设$n=PC+PD$,直接写出$n$的最小值.
答案
14. 解:(1) 因为点$A(0,4),B(-2,0)$,点 D 在第一象限内，
$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点$C$,
所以$D(6,4),C(4,0)$,
所以$S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$.
(2) ①因为$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$,
所以$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×12=6$.
设点$P(m,m)$.
因为$S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}=6$,且$E(4,4)$,
所以$\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× m-\frac{1}{2}×2×(4-m)=6$,
解得$m=2$,所以点$P$的坐标为$(2,2)$.
②$n$的最小值为 6.
$AD=6,AD// x$轴,$DC// AB$交$x$轴于点$C$,
所以$D(6,4),C(4,0)$,
所以$S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$.
(2) ①因为$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$,
所以$S_{△ PCD}=\frac{1}{2}S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×12=6$.
设点$P(m,m)$.
因为$S_{△ PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△ POC}-S_{△ PED}=6$,且$E(4,4)$,
所以$\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× m-\frac{1}{2}×2×(4-m)=6$,
解得$m=2$,所以点$P$的坐标为$(2,2)$.
②$n$的最小值为 6.
解析
【分析】
(1) 首先根据AD//x轴、A点坐标和AD长度确定D点坐标；再由DC//AB、AD//x轴可判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对边相等求出BC长度，进而得到C点坐标，最后用平行四边形面积公式“底×高”计算即可，底取AD长度，高为A点的纵坐标值。
(2) ①先求E点坐标：AD上所有点纵坐标都是4，代入正比例函数y=x即可得E点坐标；△BCD与平行四边形ABCD同底等高，面积是平行四边形的一半，由此求出△PCD的面积；设P(m,m)（P在y=x上，横纵坐标相等），用割补法，用梯形OCDE的面积减去△POC和△PED的面积，等于△PCD的面积，列方程求解m即可得到P点坐标。
②求PC+PD的最小值用轴对称法：直线y=x是第一、三象限角平分线，找点C关于y=x的对称点，根据对称性质PC等于P到对称点的距离，将PC+PD转化为两点之间的距离，根据两点之间线段最短即可求出最小值。
【解析】
(1)
∵$A(0,4)$，$AD// x$轴，$AD=6$，且点D在第一象限，
∴D点横坐标为$0+6=6$，纵坐标为4，即$D(6,4)$。
∵$AD// x$轴（即$AD// BC$），$DC// AB$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD=6$，
∵$B(-2,0)$，
∴C点横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为0，即$C(4,0)$。
平行四边形的高为AO的长度，即4，
∴$S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$。
(2) ①直线$y=x$交AD于E，AD上的点纵坐标均为4，令$y=x$中$y=4$，得$x=4$，即$E(4,4)$。
∵△BCD与平行四边形ABCD同底等高，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$，
由题意得$S_{△PCD}=\frac{1}{2}S_{△BCD}=6$。
∵点P在线段OE上，即在直线$y=x$上，
∴设$P(m,m)$。
用割补法计算面积：
$S_{△PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△POC}-S_{△PED}$
代入数据得：
$\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× m-\frac{1}{2}×2×(4-m)=6$
解得$m=2$，即点P的坐标为$(2,2)$。
②点$C(4,0)$关于直线$y=x$的对称点为$(0,4)$，即点A，根据对称性质得$PC=PA$，
∴$n=PC+PD=PA+PD$，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，$PA+PD$最小，最小值为AD的长度6，即n的最小值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{24}$；
(2) ①$\boldsymbol{(2,2)}$；②$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，正比例函数的应用，轴对称求最短路径
【点评】
本题是坐标系与几何结合的综合题型，涵盖了平行四边形判定、面积计算、正比例函数坐标求解、割补法算面积及最短路径模型等考点，对知识的综合运用能力有一定要求，是常考的中档综合题。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据AD//x轴、A点坐标和AD长度确定D点坐标；再由DC//AB、AD//x轴可判定四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形对边相等求出BC长度，进而得到C点坐标，最后用平行四边形面积公式“底×高”计算即可，底取AD长度，高为A点的纵坐标值。
(2) ①先求E点坐标：AD上所有点纵坐标都是4，代入正比例函数y=x即可得E点坐标；△BCD与平行四边形ABCD同底等高，面积是平行四边形的一半，由此求出△PCD的面积；设P(m,m)（P在y=x上，横纵坐标相等），用割补法，用梯形OCDE的面积减去△POC和△PED的面积，等于△PCD的面积，列方程求解m即可得到P点坐标。
②求PC+PD的最小值用轴对称法：直线y=x是第一、三象限角平分线，找点C关于y=x的对称点，根据对称性质PC等于P到对称点的距离，将PC+PD转化为两点之间的距离，根据两点之间线段最短即可求出最小值。
【解析】
(1)
∵$A(0,4)$，$AD// x$轴，$AD=6$，且点D在第一象限，
∴D点横坐标为$0+6=6$，纵坐标为4，即$D(6,4)$。
∵$AD// x$轴（即$AD// BC$），$DC// AB$，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴$BC=AD=6$，
∵$B(-2,0)$，
∴C点横坐标为$-2+6=4$，纵坐标为0，即$C(4,0)$。
平行四边形的高为AO的长度，即4，
∴$S_{四边形ABCD}=AD· AO=6×4=24$。
(2) ①直线$y=x$交AD于E，AD上的点纵坐标均为4，令$y=x$中$y=4$，得$x=4$，即$E(4,4)$。
∵△BCD与平行四边形ABCD同底等高，
∴$S_{△BCD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}×24=12$，
由题意得$S_{△PCD}=\frac{1}{2}S_{△BCD}=6$。
∵点P在线段OE上，即在直线$y=x$上，
∴设$P(m,m)$。
用割补法计算面积：
$S_{△PCD}=S_{梯形OCDE}-S_{△POC}-S_{△PED}$
代入数据得：
$\frac{1}{2}×(4+2)×4-\frac{1}{2}×4× m-\frac{1}{2}×2×(4-m)=6$
解得$m=2$，即点P的坐标为$(2,2)$。
②点$C(4,0)$关于直线$y=x$的对称点为$(0,4)$，即点A，根据对称性质得$PC=PA$，
∴$n=PC+PD=PA+PD$，根据两点之间线段最短，当A、P、D三点共线时，$PA+PD$最小，最小值为AD的长度6，即n的最小值为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{24}$；
(2) ①$\boldsymbol{(2,2)}$；②$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行四边形的性质，正比例函数的应用，轴对称求最短路径
【点评】
本题是坐标系与几何结合的综合题型，涵盖了平行四边形判定、面积计算、正比例函数坐标求解、割补法算面积及最短路径模型等考点，对知识的综合运用能力有一定要求，是常考的中档综合题。
【难度系数】
0.6
