7. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感.数学老师身高为160 cm，下半身长$ x $与身高$ h $的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少厘米？（结果保留整数）

解：根据题意可得数学老师的下半身长是​$160×0.60 = 96(\mathrm {cm})$​设需要穿的高跟鞋是​$y\mathrm {cm}，$​则根据黄金分割的定义，得​$\frac {96 + y}{160 + y}=0.618$​解得​$y≈8，$​即需要穿的高跟鞋约是​$8\ \mathrm {cm}$​

8. (1)已知线段AB,请按照下面的作法画出符合条件的图形(保留作图痕迹):
①过点B作$BM⊥AB$;②在BM上截取$BC=\frac{1}{2}AB$,连接AC;③以点C为圆心、CB的长为半径作弧,交AC于点N;④以点A为圆心,以AN长为半径作弧,交AB于点P.
(2)求证:P是线段AB的黄金分割点.

; ​$ (1)$​解：如图所示​$(2)$​证明：设​$BC = x，$​则​$AB = 2x$​∵​$BC\perp AB，$​∴​$AC=\sqrt {AB^2+BC^2}=\sqrt {(2x)^2+x^2}=\sqrt 5x$​∵​$CN = BC = x，$​∴​$AN = AC - CN = (\sqrt 5-1)x$​∴​$AP = AN = (\sqrt 5-1)x，$​∴​$\frac {AP}{AB}=\frac {(\sqrt 5-1)x}{2x}=\frac {\sqrt 5-1}2$​∴​$P $​是线段​$AB$​的黄金分割点

9. 已知线段$AB=2$，$P$是线段$AB$的黄金分割点$(AP＞BP)$。
(1)求线段$AP$的长。
(2)以$AB$为三角形的一边作$△ ABQ$，使得$BQ=AP$，连接$QP$，若$QP$平分$∠ AQB$，求$AQ$的长。

解：​$(1)$​∵​$P $​是线段​$AB$​的黄金分割点，​$AP＞BP$​∴​$AP=\frac {\sqrt 5-1}2\ \mathrm {A}B=\frac {\sqrt 5-1}2×2=\sqrt 5-1$​​$(2)$​∵​$QP $​平分​$∠AQ B，$​∴​$P $​到​$AQ、$​​$BQ $​的距离相等∴​$\frac {S_{\triangle P AQ}}{S_{\triangle P BQ}}=\frac {AQ}{BQ}=\frac {AP}{P B}$​又由​$(1)$​知，​$AP = BQ=\sqrt 5-1$​∵​$AB = 2，$​∴​$P B = AB - AP = 2 - (\sqrt 5-1)=3 - \sqrt 5$​∴​$AQ=\frac {AP·BQ}{P-B}=\frac {(\sqrt 5-1)^2}{3 - \sqrt 5} = 2$​

10. 定义:直线 $ l $ 将一个面积为 $ S $ 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为 $ S_1 $、$ S_2 $,如果 $ \frac{S_1}{S} = \frac{S_2}{S_1} $,那么称直线 $ l $ 为该图形的黄金分割线.如图,在$ △ ABC $中,若 $ D $ 是 $ AB $ 的黄金分割点.
(1)直线 $ CD $ 是$ △ ABC $的黄金分割线吗?请说明理由.
(2)三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?请说明理由.

解：​$(1)$​直线​$CD$​是​$\triangle ABC$​的黄金分割线，理由如下：如图，过点​$C$​作​$CH\perp AB$​于点​$H$​∵​$S_{\triangle ADC}=\frac 12\ \mathrm {A}D·CH，$​​$S_{\triangle ABC}=\frac 12\ \mathrm {A}B·CH，$​​$S_{\triangle BDC}=\frac 12BD·CH$​∴​$\frac {S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac {\frac 12\ \mathrm {A}D·CH}{\frac 12\ \mathrm {A}B·CH}=\frac {AD}{AB}，$​​$\frac {S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ADC}}=\frac {\frac 12BD·CH}{\frac 12\ \mathrm {A}D·CH}=\frac {BD}{AD}$​∵​$D$​是​$AB$​的黄金分割点，∴​$\frac {AD}{AB}=\frac {BD}{AD}$​∴​$\frac {S_{\triangle ADC}}{S_{\triangle ABC}}=\frac {S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ADC}}，$​∴直线​$CD$​是​$\triangle ABC$​的黄金分割线​$(2)$​三角形的中线不是三角形的黄金分割线。理由如下：如图，作​$\triangle ABC$​的中线​$CG，$​设​$\triangle ABC$​的面积为​$2\ \mathrm {m}$​∵​$AG = BG=\frac 12\ \mathrm {A}B，$​∴​$S_{\triangle AG C}=\frac 12S_{\triangle ABC}=m，$​​$S_{\triangle BG C}=\frac 12S_{\triangle ABC}=m$​∵​$\frac {S_{\triangle AG C}}{S_{\triangle ABC}}=\frac {m}{2\ \mathrm {m}}=\frac 12，$​​$\frac {S_{\triangle BG C}}{S_{\triangle AG C}}=\frac {m}{m}=1$​∴​$\frac {S_{\triangle AG C}}{S_{\triangle ABC}}\neq \frac {S_{\triangle BG C}}{S_{\triangle AG C}}$​∴​$CG $​不是​$\triangle ABC$​的黄金分割线∴三角形的中线不是三角形的黄金分割线 ;