22.（8分）新趋势 尺规作图 已知A、B、C、D四点在同一圆上，请仅用无刻度直尺完成下列作图.（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，$AB=CD$，在图①中作出该圆的一条直径；
（2）如图②，AB、BC、CD是圆内接正五边形的三条边，在图②中作出该圆的圆心.

;

23. (12分)(2024·淮安期中)【了解概念】我们知道,折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形.如图①,线段MQ、QN组成折线段MQN.若点P在折线段MQN上,$MP=PQ+QN$,则称点P是折线段MQN的中点.
【理解应用】
(1)如图②,$\odot O$的半径为2,PA是$\odot O$的切线,A为切点,点B是折线段POA的中点.若$∠APO=30^{\circ }$,则$PB=$______.
【定理证明】
(2)阿基米德折弦定理:如图③,AB和BC是$\odot O$的两条弦(即折线段ABC是圆的一条折弦),$BC＞AB$,点M是$\overset{\frown}{ABC}$的中点,从M向BC作垂线,垂足为D,求证:D是折弦ABC的中点.
【变式探究】
(3)如图④,若点M是$\overset{\frown}{AC}$的中点,【定理证明】中的其他条件不变,则CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论.
【灵活应用】
(4)如图⑤,BC是$\odot O$的直径,点A为$\odot O$上一定点,点D为$\odot O$上一动点,且满足$∠DAB=45^{\circ }$,若$AB=8,BC=10$,则$AD=$______.

3 ; $7\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$ ; 解​$：(2)$​在​$BC$​上截取​$CG=AB，$​连接​$MC、$​​$MG、$​​$MB、$​​$MA，$​如图​$①，$​∵点​$M $​是​$\widehat {ABC}$​的中点，∴​$MA=MC.$​∵​$∠A=∠C，$​∴​$△MAB≌△MCG(\mathrm {SAS})，$​∴​$MB=MG；$​∵​$MD⊥BC，$​∴​$BD=DG，$​∴​$AB+BD=CG+DG=CD，$​∴​$D$​是折弦​$ABC$​的中点​$(3)AB+CD=BD$
​