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1. 如图，海中有一小岛 A，在点 B 处测得小岛 A 在北偏东 30°方向上，渔船从点 B 出发由西向东航行 10 n mile 到达点 C，在点 C 测得小岛 A 恰好在正北方向上，此时渔船与小岛 A 的距离为(
A.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ n mile
B.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ n mile
C.20 n mile
D.$10\sqrt{3}$ n mile
D
)A.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ n mile
B.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ n mile
C.20 n mile
D.$10\sqrt{3}$ n mile
答案
1. D
解析
解：由题意得，$∠ ABC=60°$，$BC=10\ \mathrm{n mile}$，$∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，
即$\tan60°=\frac{AC}{10}$，
$\sqrt{3}=\frac{AC}{10}$，
解得$AC=10\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
答案：D
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\frac{AC}{BC}$，
即$\tan60°=\frac{AC}{10}$，
$\sqrt{3}=\frac{AC}{10}$，
解得$AC=10\sqrt{3}\ \mathrm{n mile}$。
答案：D
2. (2023·南通)如图，从航拍无人机 A 看一栋楼顶部 B 的仰角 α 为 30°，看这栋楼底部 C 的俯角 β 为 60°，无人机与楼的水平距离为 120 m，则这栋楼的高度 BC 为(
A.$140\sqrt{3}$ m
B.$160\sqrt{3}$ m
C.$180\sqrt{3}$ m
D.$200\sqrt{3}$ m
B
)A.$140\sqrt{3}$ m
B.$160\sqrt{3}$ m
C.$180\sqrt{3}$ m
D.$200\sqrt{3}$ m
答案
2. B
解析
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD=120m。
在Rt△ABD中，∠BAD=α=30°，
tanα=BD/AD，
BD=AD·tan30°=120×(√3/3)=40√3 m。
在Rt△ACD中，∠CAD=β=60°，
tanβ=CD/AD，
CD=AD·tan60°=120×√3=120√3 m。
BC=BD+CD=40√3+120√3=160√3 m。
答案：B
在Rt△ABD中，∠BAD=α=30°，
tanα=BD/AD，
BD=AD·tan30°=120×(√3/3)=40√3 m。
在Rt△ACD中，∠CAD=β=60°，
tanβ=CD/AD，
CD=AD·tan60°=120×√3=120√3 m。
BC=BD+CD=40√3+120√3=160√3 m。
答案：B
3. (2023·眉山)如图，一渔船在海上 A 处测得灯塔 C 在它的北偏东 60°方向，渔船向正东方向航行 12 海里到达点 B 处，测得灯塔 C 在它的北偏东 45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 C 的最短距离是
$(6\sqrt{3}+6)$
海里.答案
3. $(6\sqrt{3}+6)$
解析
解：过点$C$作$CD ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$D$，设$CD = x$海里。
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ} = \frac{CD}{AD}$，则$AD = \frac{CD}{\tan 30^{\circ}} = \sqrt{3}x$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，$\tan 45^{\circ} = \frac{CD}{BD}$，则$BD = CD = x$。
因为$AD - BD = AB$，$AB = 12$海里，所以$\sqrt{3}x - x = 12$，解得$x = \frac{12}{\sqrt{3} - 1} = 6(\sqrt{3} + 1) = 6\sqrt{3} + 6$。
渔船与灯塔$C$的最短距离是$CD$的长，即$(6\sqrt{3} + 6)$海里。
$6\sqrt{3} + 6$
在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$，$\tan 30^{\circ} = \frac{CD}{AD}$，则$AD = \frac{CD}{\tan 30^{\circ}} = \sqrt{3}x$。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$，$\tan 45^{\circ} = \frac{CD}{BD}$，则$BD = CD = x$。
因为$AD - BD = AB$，$AB = 12$海里，所以$\sqrt{3}x - x = 12$，解得$x = \frac{12}{\sqrt{3} - 1} = 6(\sqrt{3} + 1) = 6\sqrt{3} + 6$。
渔船与灯塔$C$的最短距离是$CD$的长，即$(6\sqrt{3} + 6)$海里。
$6\sqrt{3} + 6$
4. 2024 年 6 月 2 日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，如图，在一次试验中，该模拟装置在缓速下降阶段从点 A 垂直下降到点 B，再垂直下降到着陆点 C，从点 B 测得地面点 D 的俯角为 36.87°，AD = 17 米，BD = 10 米.
(1)求 CD 的长；
(2)若模拟装置从点 A 以每秒 2 米的速度匀速下降到点 B，求模拟装置从点 A 下降到点 B 的时间.
(参考数据：$\sin 36.87^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 36.87^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 36.87^{\circ} \approx 0.75$)
(1)求 CD 的长；
(2)若模拟装置从点 A 以每秒 2 米的速度匀速下降到点 B，求模拟装置从点 A 下降到点 B 的时间.
(参考数据：$\sin 36.87^{\circ} \approx 0.60$，$\cos 36.87^{\circ} \approx 0.80$，$\tan 36.87^{\circ} \approx 0.75$)
答案
4. 解: (1) 如答图.
由题意, 得 $AC ⊥ CD, BE // CD, \therefore ∠ EBD=∠ BDC=36.87^{\circ}$.
在 $Rt△ BCD$ 中, $BD=10$ 米,
$\therefore CD=BD · \cos 36.87^{\circ} \approx 10 × 0.80=8$(米).
答: $CD$ 的长约为 8 米.
(2) 在 $Rt△ BCD$ 中, $BD=10$ 米, $∠ BDC=36.87^{\circ}$,
$\therefore BC=BD · \sin 36.87^{\circ} \approx 10 × 0.60=6$(米).
在 $Rt△ ACD$ 中, $AD=17$ 米, $CD=8$ 米,
$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$(米),
$\therefore AB=AC-BC=15-6=9$(米).
$\because$ 模拟装置从点 $A$ 以每秒 2 米的速度匀速下降到点 $B$,
$\therefore$ 模拟装置从点 $A$ 下降到点 $B$ 的时间为 $9 ÷ 2=4.5$(秒).
答: 模拟装置从点 $A$ 下降到点 $B$ 的时间为 4.5 秒.
