1. (2025 东营中考)如图,AB 是$\odot O$的直径,C 是$\odot O$上异于 A,B 的一点,连接 AC,BC,点 D 在 BA 的延长线上,且$∠DCA=∠ABC$,点 E 在 DC 的延长线上,且$BE⊥DC.$
(1)求证:DC 是$\odot O$的切线;
(2)若$\frac {OA}{OD}=\frac {2}{3},BE=10$,求 AD 的长.

(1)证明见解析；(2)3

(1)连接OC，∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∠ABC+∠BAC=90°。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA+∠OCA=∠ABC+∠BAC=90°，即∠OCD=90°，∴OC⊥DC，又OC是半径，∴DC是⊙O切线。
(2)设OA=2k，由OA/OD=2/3得OD=3k，∴AD=OD-OA=3k-2k=k，OC=OA=2k，OB=OA=2k，BD=OD+OB=5k。∵BE⊥DC，∠OCD=90°，∴∠E=∠OCD=90°，又∠D=∠D，∴△DCO∽△DEB。∴OC/BE=OD/BD，即2k/10=3k/(5k)，解得k=3，∴AD=k=3。

2. 如图,AB 为$\odot O$的直径,C 为$\odot O$上的一点,连接 AC,BC,过点 C 作$\odot O$的切线交 AB 的延长线于点 D.
(1)求证:$∠BCD=∠A;$
(2)若$BC=6,AB=10$,求 BD 的长.

(1)证明见解析；(2)90/7

(1)∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°。
∵CD是⊙O切线，∴OC⊥CD，∠OCD=90°，即∠OCB+∠BCD=90°。
∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠ABC+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A。
(2)在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∴AC=√(AB²-BC²)=√(10²-6²)=8。
∵∠BCD=∠A，∠D=∠D，∴△DBC∽△DCA。
设BD=x，则DA=AB+BD=10+x。
由相似得BD/DC=BC/CA，即x/DC=6/8，∴DC=4x/3。
又DC/DA=BC/CA，即(4x/3)/(10+x)=6/8，解得x=90/7。

3. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠B=90^{\circ }$,AE 平分$∠BAC$交 BC 于点 E,圆心 O 在 AC 上,经过点 A,E 的$\odot O$分别交 AB,AC 于点 D,F.
(1)求证:BC 是$\odot O$的切线;
(2)若$BD=1,AC=6$,求$\odot O$的半径.

2

(1)连接OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA。∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠BAE=∠OEA，∴OE//AB。∵∠B=90°，∴OE⊥BC，又∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线。
(2)设⊙O半径为r，OA=OE=r，AC=6，∴OC=6 - r。∵OE//AB，∴△COE∽△CAB，∴OE/AB=OC/AC，即r/AB=(6 - r)/6，得AB=6r/(6 - r)。
由切割线定理，BE²=BD·BA，BD=1，∴BE²=AB，BE=√AB。
在Rt△ABC中，AB² + BC²=AC²。由△COE∽△CAB，EC/BC=OC/AC=(6 - r)/6，EC=BC·(6 - r)/6，BC=BE + EC=√AB + BC·(6 - r)/6，解得BC=6√AB/r。
∴AB² + (6√AB/r)²=36。将AB=6r/(6 - r)代入，化简得2r² - 7r + 6=0，解得r=2或r=3/2。经检验，r=2符合题意。