1. (2025 新疆中考改编)如图，$AB$为$\odot O$的直径，$C$为$\odot O$上一点，$CF⊥ AB$于点$F$，$E$是$AB$延长线上一点，且$∠ FCE = 2∠ A$。
(1)求证：$CE$是$\odot O$的切线；
(2)过点$B$作$BD// CE$，交$CF$于点$G$，交$AC$于点$D$，连接$BC$。若$\tan∠ BCE=\frac{1}{2}$，$BE = 1$，求$DG$的长。

(1)证明见解析；(2)3/4

(1)连接OC，设∠A=α，则∠FCE=2α。∵OA=OC，∴∠OCA=α。∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCB=90°-α。∵CF⊥AB，∴∠CFB=90°，∠ABC=90°-α，∴∠FCB=90°-∠ABC=α。∴∠BCE=∠FCE-∠FCB=2α-α=α。∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=90°-α，∴∠OCE=∠OCB+∠BCE=90°-α+α=90°，即OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线。
(2)设⊙O半径为r，tan∠BCE=tanα=1/2。在Rt△OCE中，OC=r，OE=r+1，CE²=(r+1)²-r²=2r+1。tan∠E=cot2α=3/4=OC/CE，∴CE=4r/3。则(4r/3)²=2r+1，解得r=3/2。∴AB=3，OE=5/2，CE=2。建立坐标系，O(0,0)，A(-3/2,0)，B(3/2,0)，E(5/2,0)，C(9/10,6/5)。直线AC：y=(1/2)x+3/4；BD//CE，k_CE=-3/4，BD：y=-3/4x+9/8。联立AC与BD得D(3/10,9/10)。CF：x=9/10，与BD交于G(9/10,9/20)。DG=√[(9/10-3/10)²+(9/20-9/10)²]=3/4。

2. 如图，点$C$在以$AB$为直径的$\odot O$上，过点$C$的切线交$BA$的延长线于点$D$，$G$是$OB$上的一点，过点$G$作$OB$的垂线，交$BC$于点$F$，交$DC$的延长线于点$E$。已知$\tan B=\frac{1}{3}$。
(1)求$\sin D$的值；
(2)若$DA = FG = 1$，求$CE$的长。

(1)4/5；(2)7

(1)连接OC，因AB为直径，∠ACB=90°。tanB=AC/BC=1/3，设AC=k，BC=3k，AB=√(k²+(3k)²)=√10k，半径OC=√10k/2。DC为切线，∠OCD=90°，由弦切角定理∠DCA=∠B，且∠D=∠D，故△DCA∽△DBC。则DA/DC=AC/BC=1/3，设DA=x，DC=3x，DB=3DC=9x，AB=DB-DA=8x，OA=4x，OD=OA+DA=5x。在Rt△OCD中，sinD=OC/OD=(4x)/(5x)=4/5。
(2)DA=1，由(1)知DC=3，AB=8，OA=4，D(-5,0)，O(0,0)，B(4,0)。设C(m,n)，圆方程x²+y²=16，DC=3，(m+5)²+n²=9，联立得m=-16/5，n=12/5，C(-16/5,12/5)。直线DC：y=(4/3)x+20/3。设G(g,0)，EG⊥AB，E(g,(4/3)g+20/3)。直线BC：y=-1/3x+4/3，F(g,1)在BC上，1=-1/3g+4/3，得g=1。E(1,8)，CE=√[(1+16/5)²+(8-12/5)²]=7。

3. 如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，$AB = AC$，过点$A$作$\odot O$的切线$AE$，交直径$BD$的延长线于点$E$。
(1)求证：$AE// BC$；
(2)若$BD = 3DE$，求$\tan∠ CAE$的值。

(1)证明见解析；(2)1/2

(1)∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=∠ACB（弦切角等于所夹弧对的圆周角）。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EAB=∠ABC，∴AE//BC。
(2)设⊙O半径为R，则BD=2R。∵BD=3DE，∴DE=2R/3，OE=OD+DE=R+2R/3=5R/3。∵AE是切线，OA⊥AE，在Rt△OAE中，AE=√(OE²-OA²)=√[(5R/3)²-R²]=4R/3。∵AE//BC，∴∠E=∠DBC。tan∠E=OA/AE=R/(4R/3)=3/4，故tan∠DBC=3/4。设BC中点为F，OA⊥BC（AB=AC，圆心在BC中垂线上），设BF=y，则OF=3y/4（tan∠DBC=OF/BF=3/4）。在Rt△OBF中，OB²=OF²+BF²，即R²=(3y/4)²+y²=25y²/16，得R=5y/4，∴AF=OA-OF=R-3y/4=5y/4-3y/4=y/2。在Rt△AFC中，tan∠ACB=AF/CF=(y/2)/y=1/2。∵AE//BC，∠CAE=∠ACB，∴tan∠CAE=1/2。