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8. 如图，在△ABC中，CD=CE，2AD=3AE，2BD=3CD，求证：△ABD∽△ACE.
答案
△ABD∽△ACE
解析
∵2AD=3AE，∴AD/AE=3/2。∵2BD=3CD，∴BD/CD=3/2，又CD=CE，∴BD/CE=3/2，故AD/AE=BD/CE。∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED。∵∠ADB+∠CDE=180°，∠AEC+∠CED=180°，∴∠ADB=∠AEC。在△ABD和△ACE中，AD/AE=BD/CE，∠ADB=∠AEC，∴△ABD∽△ACE。
9. 如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC，BD交于点E，且∠AEB=120°.
(1)求证：△DCE∽△ABE；
(2)求$\frac{DC}{AB}$的值.
(1)求证：△DCE∽△ABE；
(2)求$\frac{DC}{AB}$的值.
答案
【解析】：(1)
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠BCE=90°.
∵∠AEB=120°，
∴∠AED=∠BEC=180°-120°=60°.
在Rt△ADE和Rt△BCE中，∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC=60°，
∴Rt△ADE∽Rt△BCE(AA)，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$.
又
∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△DCE∽△ABE(两边成比例且夹角相等).
(2)由(1)知△DCE∽△ABE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{DE}{AE}$.
在Rt△ADE中，∠AED=60°，∠ADE=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE(30°角所对直角边等于斜边一半)，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$.
【答案】：(1)证明见解析；(2)$\frac{1}{2}$
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠BCE=90°.
∵∠AEB=120°，
∴∠AED=∠BEC=180°-120°=60°.
在Rt△ADE和Rt△BCE中，∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC=60°，
∴Rt△ADE∽Rt△BCE(AA)，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$.
又
∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△DCE∽△ABE(两边成比例且夹角相等).
(2)由(1)知△DCE∽△ABE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{DE}{AE}$.
在Rt△ADE中，∠AED=60°，∠ADE=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE(30°角所对直角边等于斜边一半)，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$.
【答案】：(1)证明见解析；(2)$\frac{1}{2}$
解析
(1)
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠BCE=90°.
∵∠AEB=120°，
∴∠AED=∠BEC=180°-120°=60°.
在Rt△ADE和Rt△BCE中，∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC=60°，
∴Rt△ADE∽Rt△BCE(AA)，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$.
又
∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△DCE∽△ABE(两边成比例且夹角相等).
(2)由(1)知△DCE∽△ABE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{DE}{AE}$.
在Rt△ADE中，∠AED=60°，∠ADE=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE(30°角所对直角边等于斜边一半)，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵∠ADB=∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠BCE=90°.
∵∠AEB=120°，
∴∠AED=∠BEC=180°-120°=60°.
在Rt△ADE和Rt△BCE中，∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC=60°，
∴Rt△ADE∽Rt△BCE(AA)，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{DE}{CE}$，即$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$.
又
∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，
∴△DCE∽△ABE(两边成比例且夹角相等).
(2)由(1)知△DCE∽△ABE，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{DE}{AE}$.
在Rt△ADE中，∠AED=60°，∠ADE=90°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AE(30°角所对直角边等于斜边一半)，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DC}{AB}=\frac{1}{2}$.
10. (2025黄冈)如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6，CD=4，BD=14.点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长.
答案
2或12或$\frac{42}{5}$
解析
设PB=x，则PD=14-x。∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°。
情况1：△ABP∽△CDP
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，解得$x=\frac{42}{5}=8.4$。
情况2：△ABP∽△PDC
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x=2$或$x=12$。
综上，PB的长为2，12或$\frac{42}{5}$。
情况1：△ABP∽△CDP
则$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{DP}$，即$\frac{6}{4}=\frac{x}{14-x}$，解得$x=\frac{42}{5}=8.4$。
情况2：△ABP∽△PDC
则$\frac{AB}{PD}=\frac{BP}{CD}$，即$\frac{6}{14-x}=\frac{x}{4}$，整理得$x^2-14x+24=0$，解得$x=2$或$x=12$。
综上，PB的长为2，12或$\frac{42}{5}$。
11. (2025武昌区)如图，点E在△ABC内，∠ABC=∠EFC=90°，BC=2BA，FC=2FE.
(1)求证：∠ACE=∠BCF；
(2)若∠CAE+∠CBE=90°，且BE=6，AE=3$\sqrt{5}$，求EF的长.
(1)求证：∠ACE=∠BCF；
(2)若∠CAE+∠CBE=90°，且BE=6，AE=3$\sqrt{5}$，求EF的长.
答案
(1)证明见解析；(2)6√2
解析
(1)∵∠ABC=∠EFC=90°，BC=2BA，FC=2FE，∴BC/BA=FC/FE=2，∴Rt△ABC∽Rt△EFC，∴∠BCA=∠FCE，∴∠BCA-∠BCE=∠FCE-∠BCE，即∠ACE=∠BCF.
(2)由(1)知∠ACE=∠BCF，在Rt△ABC中，AC=√(BA²+BC²)=√(BA²+(2BA)²)=√5 BA，同理CE=√(FE²+FC²)=√5 FE.∴AC/BC=√5 BA/(2BA)=√5/2，CE/CF=√5 FE/(2FE)=√5/2，∴AC/BC=CE/CF，∴△ACE∽△BCF，∴∠CAE=∠CBF，AE/BF=AC/BC=√5/2.∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°.∵AE=3√5，∴BF=2AE/√5=6.在Rt△EBF中，EF=√(BE²+BF²)=√(6²+6²)=6√2.
(2)由(1)知∠ACE=∠BCF，在Rt△ABC中，AC=√(BA²+BC²)=√(BA²+(2BA)²)=√5 BA，同理CE=√(FE²+FC²)=√5 FE.∴AC/BC=√5 BA/(2BA)=√5/2，CE/CF=√5 FE/(2FE)=√5/2，∴AC/BC=CE/CF，∴△ACE∽△BCF，∴∠CAE=∠CBF，AE/BF=AC/BC=√5/2.∵∠CAE+∠CBE=90°，∴∠CBF+∠CBE=90°，即∠EBF=90°.∵AE=3√5，∴BF=2AE/√5=6.在Rt△EBF中，EF=√(BE²+BF²)=√(6²+6²)=6√2.
