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5. 如图，$BC$，$AE$是锐角$\triangle ABF$的高，相交于点$D$。若$AD = BF$，$AF = 7$，$CF = 2$，则$BD$的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
∵BC、AE是△ABF的高，∴∠ACB=∠AEB=90°，∠ACD=∠BCF=90°．
∵∠ADC=∠EDB（对顶角相等），∠CAD+∠ADC=90°，∠EBD+∠EDB=90°，∴∠CAD=∠EBD（等角的余角相等），即∠CAD=∠CBF．
在△ACD和△BCF中，∠ACD=∠BCF=90°，∠CAD=∠CBF，AD=BF，∴△ACD≌△BCF（AAS）．
∴AC=BC，CD=CF．
∵AF=7，CF=2，∴AC=AF-CF=7-2=5，∴BC=AC=5，CD=CF=2．
∵点D在BC上，∴BD=BC-CD=5-2=3．
6. 关于$x$的方程$\frac{2 - a}{x - 3} - \frac{5}{3 - x} = 1$的解为正数，则$a$的取值范围为(
A.$a ＜ 10$
B.$a ＜ 10$且$a \neq 7$
C.$a ＜ 0$
D.$a ＜ 0$且$a \neq -3$
B
)A.$a ＜ 10$
B.$a ＜ 10$且$a \neq 7$
C.$a ＜ 0$
D.$a ＜ 0$且$a \neq -3$
答案
B
解析
首先，将方程 $\frac{2 - a}{x - 3} - \frac{5}{3 - x} = 1$ 去分母，两边同时乘以 $(x - 3)$，得到：
$2 - a + 5 = x - 3$，
整理得：
$x = 10 - a$，
由于方程的解为正数，所以有：
$10 - a ＞ 0$，
解得：
$a ＜ 10$，
另外，由于分母不能为0，所以 $x \neq 3$，即：
$10 - a \neq 3$，
解得：
$a \neq 7$，
综上，$a$ 的取值范围为 $a ＜ 10$ 且 $a \neq 7$。
$2 - a + 5 = x - 3$，
整理得：
$x = 10 - a$，
由于方程的解为正数，所以有：
$10 - a ＞ 0$，
解得：
$a ＜ 10$，
另外，由于分母不能为0，所以 $x \neq 3$，即：
$10 - a \neq 3$，
解得：
$a \neq 7$，
综上，$a$ 的取值范围为 $a ＜ 10$ 且 $a \neq 7$。
7. 如图，$AB \perp BC$，$BE \perp AC$，垂足分别为$B$，$E$，$\angle 1 = \angle 2$，$AD = AB$，则下列结论正确的(
A.$\angle 1 = \angle EFD$
B.$BE = EC$
C.$BF = CD$
D.$FD // BC$
D
)A.$\angle 1 = \angle EFD$
B.$BE = EC$
C.$BF = CD$
D.$FD // BC$
答案
D
解析
∵∠1=∠2，AF=AF，AD=AB，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ABF=∠ADF，BF=DF。
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，即∠ABF+∠EBC=90°。
∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，则∠C+∠EBC=90°。
∴∠ABF=∠C（同角的余角相等），
∴∠ADF=∠C（等量代换），
∴FD//BC（同位角相等，两直线平行）。
8. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，体现了我国古代劳动人民的智慧。它记载了一个数学问题：今有粟若干石，分予甲、乙两户。甲户得五分之三，乙户得五分之二。后甲户拨粟二十石予乙户，此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二。问：原粟共有多少石？设总粟数为$x$石，可列分式方程为(
A. $\frac{\frac{3}{5}x + 20}{\frac{2}{5}x - 20} = \frac{2}{3}$
B. $\frac{\frac{2}{5}x - 20}{\frac{3}{5}x + 20} = \frac{2}{3}$
C. $\frac{\frac{2}{5}x + 20}{\frac{3}{5}x - 20} = \frac{2}{3}$
D. $\frac{\frac{3}{5}x - 20}{\frac{2}{5}x + 20} = \frac{2}{3}$
D
)A. $\frac{\frac{3}{5}x + 20}{\frac{2}{5}x - 20} = \frac{2}{3}$
B. $\frac{\frac{2}{5}x - 20}{\frac{3}{5}x + 20} = \frac{2}{3}$
C. $\frac{\frac{2}{5}x + 20}{\frac{3}{5}x - 20} = \frac{2}{3}$
D. $\frac{\frac{3}{5}x - 20}{\frac{2}{5}x + 20} = \frac{2}{3}$
答案
D
解析
设总粟数为$x$石，甲户原得$\frac{3}{5}x$石，乙户原得$\frac{2}{5}x$石。甲户拨20石予乙户后，甲户余$\frac{3}{5}x - 20$石，乙户得$\frac{2}{5}x + 20$石。此时甲户余粟为乙户所得粟的三分之二，可列方程$\frac{\frac{3}{5}x - 20}{\frac{2}{5}x + 20} = \frac{2}{3}$。
9. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$EF // AB$交$BC$于$F$，交$AC$于$E$，过点$O$作$OD \perp BC$于$D$。下列四个结论：
①$\angle AOB = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle C$；
②$AE + BF = EF$；
③当$\angle C = 90^{\circ}$时，$E$，$F$分别是$AC$，$BC$的中点；
④若$OD = a$，$CE + CF = 2b$，则面积$S_{\triangle CEF} = ab$。
其中正确的结论是(
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①③④
①$\angle AOB = 90^{\circ} + \frac{1}{2}\angle C$；
②$AE + BF = EF$；
③当$\angle C = 90^{\circ}$时，$E$，$F$分别是$AC$，$BC$的中点；
④若$OD = a$，$CE + CF = 2b$，则面积$S_{\triangle CEF} = ab$。
其中正确的结论是(
C
)A.①②
B.③④
C.①②④
D.①③④
答案
C
解析
①在△ABC中，AO、BO分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠OAB=1/2∠BAC，∠OBA=1/2∠ABC。∠AOB=180°-(∠OAB+∠OBA)=180°-1/2(∠BAC+∠ABC)=180°-1/2(180°-∠C)=90°+1/2∠C，①正确；②∵EF//AB，∴∠EOA=∠OAB=∠EAO，∠FOB=∠OBA=∠FBO，∴EO=AE，FO=BF，∴EF=EO+FO=AE+BF，②正确；③当∠C=90°时，假设E、F为中点，则EF=1/2AB，由②EF=AE+BF=1/2AC+1/2BC，即1/2AB=1/2(AC+BC)，得AB=AC+BC，与直角三角形中AC²+BC²=AB²矛盾，③错误；④O为内心，到AC、BC距离均为OD=a，S△CEF=S△COE+S△COF=1/2×CE×a+1/2×CF×a=1/2×a×(CE+CF)=1/2×a×2b=ab，④正确。综上，①②④正确。
10. 已知实数$x$，$y$，$z$，$a$满足$x + a^{2} = 2023$，$y + a^{2} = 2024$，$z + a^{2} = 2025$，且$xyz = 5$，则代数式$\frac{x}{yz} + \frac{y}{xz} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$的值等于(
A.0
B.0.6
C.2
D.404.8
B
)A.0
B.0.6
C.2
D.404.8
答案
B
解析
由已知得$y = x + 1$，$z = x + 2$。代数式化简为$\frac{x^2 + y^2 - xy - xz - yz}{xyz}$，分母$xyz = 5$。分子利用$x^2 + y^2 - xy - xz - yz = \frac{1}{2}[(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2] - z^2$，代入$(x - y)^2 = 1$，$(y - z)^2 = 1$，$(z - x)^2 = 4$，得$\frac{1}{2}(1 + 1 + 4) - z^2 = 3 - z^2$。结合$xyz = 5$，解得分子为$3$，故原式$=\frac{3}{5}=0.6$。
11. 计算$\frac{4x^{2}}{2x - 1} - \frac{1}{2x - 1}$的结果是
$2x + 1$
。答案
由于两个分数分母相同，直接进行分子相减：
$\frac{4x^{2}}{2x - 1} - \frac{1}{2x - 1} = \frac{4x^{2} - 1}{2x - 1}$
接着，对分子进行因式分解，得到：
$\frac{4x^{2} - 1}{2x - 1} = \frac{(2x + 1)(2x - 1)}{2x - 1}$
最后，由于分子分母都含有因子$2x - 1$，可以约去，得到：
$2x + 1$
故答案为：$2x + 1$。
$\frac{4x^{2}}{2x - 1} - \frac{1}{2x - 1} = \frac{4x^{2} - 1}{2x - 1}$
接着，对分子进行因式分解，得到：
$\frac{4x^{2} - 1}{2x - 1} = \frac{(2x + 1)(2x - 1)}{2x - 1}$
最后，由于分子分母都含有因子$2x - 1$，可以约去，得到：
$2x + 1$
故答案为：$2x + 1$。
12. 在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，求证：$\angle B ＜ 90^{\circ}$。若用反证法来证明这个结论，第一步是假设
∠B≥90°
。答案
∠B≥90°
