14.(8分)如图,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A$,$B$两点(点$A$在点$B$的左侧),点$A$的坐标为$(-1,0)$,与$y$轴交于点$C(0,3)$,作直线$BC$,动点$P$在$x$轴上运动,过点$P$作$PM\perp x$轴,交抛物线于点$M$,交直线$BC$于点$N$,设点$P$的横坐标为$m$.
(1)求抛物线的解析式和直线$BC$的解析式.
(2)当点$P$在线段$OB$上运动时,求线段$MN$的最大值.
(3)当以$C$,$O$,$M$,$N$为顶点的四边形是平行四边形时,直接写出$m$的值.

(1) 抛物线$y=-x^2+2x+3$，直线$BC$ $y=-x+3$；(2) $\frac{9}{4}$；(3) $m=\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$m=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$。

(1) 抛物线解析式：将点$A(-1,0)$、$C(0,3)$代入$y=-x^2+bx+c$，得$\begin{cases} -(-1)^2 -b + c=0 \\ c=3 \end{cases}$，解得$b=2$，$c=3$，故抛物线解析式为$y=-x^2+2x+3$。
直线$BC$：令$y=0$，解方程$-x^2+2x+3=0$得$x=3$或$x=-1$，则$B(3,0)$。设直线$BC$为$y=kx+d$，代入$B(3,0)$、$C(0,3)$，得$\begin{cases} 3k + d=0 \\ d=3 \end{cases}$，解得$k=-1$，$d=3$，故直线$BC$解析式为$y=-x+3$。
(2) 点$P(m,0)$在线段$OB$上，$0\leq m\leq3$。$M(m,-m^2+2m+3)$，$N(m,-m+3)$，$MN=(-m^2+2m+3)-(-m+3)=-m^2+3m$。$MN=-m^2+3m=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}$，当$m=\frac{3}{2}$时，$MN$最大值为$\frac{9}{4}$。
(3) 以$C$、$O$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形，$MN// OC$且$MN=OC=3$。$| -m^2+3m |=3$，即$-m^2+3m=3$（无解）或$-m^2+3m=-3$，解方程$m^2-3m-3=0$，得$m=\frac{3\pm\sqrt{21}}{2}$。