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11.(8分)先化简,再求值:
(1)$(x - 1)(x - 2)-(x + 1)^{2}$,其中$x=\frac{1}{2}$.
(2)$2b^{2}+(a + b)(a - b)-(a - b)^{2}$,其中$a=-3,b=\frac{1}{2}$.
(1)$(x - 1)(x - 2)-(x + 1)^{2}$,其中$x=\frac{1}{2}$.
(2)$2b^{2}+(a + b)(a - b)-(a - b)^{2}$,其中$a=-3,b=\frac{1}{2}$.
答案
(1)
$\begin{aligned}&(x - 1)(x - 2)-(x + 1)^{2}\\=&x^{2}-2x - x + 2-(x^{2}+2x + 1)\\=&x^{2}-3x + 2 - x^{2}-2x - 1\\=&-5x + 1\end{aligned}$
当$x = \frac{1}{2}$时，$-5×\frac{1}{2}+1=-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}=-\frac{3}{2}$
(2)
$\begin{aligned}&2b^{2}+(a + b)(a - b)-(a - b)^{2}\\=&2b^{2}+a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2ab + b^{2})\\=&2b^{2}+a^{2}-b^{2}-a^{2}+2ab - b^{2}\\=&2ab\end{aligned}$
当$a=-3$，$b = \frac{1}{2}$时，$2×(-3)×\frac{1}{2}=-3$
$\begin{aligned}&(x - 1)(x - 2)-(x + 1)^{2}\\=&x^{2}-2x - x + 2-(x^{2}+2x + 1)\\=&x^{2}-3x + 2 - x^{2}-2x - 1\\=&-5x + 1\end{aligned}$
当$x = \frac{1}{2}$时，$-5×\frac{1}{2}+1=-\frac{5}{2}+\frac{2}{2}=-\frac{3}{2}$
(2)
$\begin{aligned}&2b^{2}+(a + b)(a - b)-(a - b)^{2}\\=&2b^{2}+a^{2}-b^{2}-(a^{2}-2ab + b^{2})\\=&2b^{2}+a^{2}-b^{2}-a^{2}+2ab - b^{2}\\=&2ab\end{aligned}$
当$a=-3$，$b = \frac{1}{2}$时，$2×(-3)×\frac{1}{2}=-3$
12.(6分)利用平方差或完全平方公式计算.
(1)$899×901 + 1$
(2)$(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)$
(1)$899×901 + 1$
(2)$(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)$
答案
(1)
$899 × 901 + 1$
$=(900 - 1)(900 + 1) + 1$
$=900^{2} - 1^{2} + 1$
$=810000 - 1 + 1$
$=810000$
(2)
$(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)$
$=[x + (2y - 3)][x - (2y - 3)]$
$=x^{2} - (2y - 3)^{2}$
$=x^{2} - (4y^{2} - 12y + 9)$
$=x^{2} - 4y^{2} + 12y - 9$
$899 × 901 + 1$
$=(900 - 1)(900 + 1) + 1$
$=900^{2} - 1^{2} + 1$
$=810000 - 1 + 1$
$=810000$
(2)
$(x + 2y - 3)(x - 2y + 3)$
$=[x + (2y - 3)][x - (2y - 3)]$
$=x^{2} - (2y - 3)^{2}$
$=x^{2} - (4y^{2} - 12y + 9)$
$=x^{2} - 4y^{2} + 12y - 9$
13.(8分)(1)已知$a + b = 5,ab = 3$,求$a^{2}+b^{2}$的值.
(2)已知$a - b = 3,ab = 2$,求$a^{4}+b^{4}$的值.
(2)已知$a - b = 3,ab = 2$,求$a^{4}+b^{4}$的值.
答案
(1)
已知$a + b = 5$，对$(a + b)^2$展开可得$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$。
将$a + b = 5$两边同时平方得$(a + b)^2 = 25$，即$a^{2}+2ab + b^{2}=25$。
又因为$ab = 3$，把$ab = 3$代入$a^{2}+2ab + b^{2}=25$中，得到$a^{2}+b^{2}+2×3 = 25$。
所以$a^{2}+b^{2}=25 - 6=19$。
(2)
已知$a - b = 3$，对$(a - b)^2$展开可得$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$。
将$a - b = 3$两边同时平方得$(a - b)^2 = 9$，即$a^{2}-2ab + b^{2}=9$。
因为$ab = 2$，把$ab = 2$代入$a^{2}-2ab + b^{2}=9$中，得到$a^{2}+b^{2}-2×2 = 9$，所以$a^{2}+b^{2}=9 + 4 = 13$。
对$(a^{2}+b^{2})^2$展开可得$(a^{2}+b^{2})^2=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}$。
则$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^2-2a^{2}b^{2}$。
把$a^{2}+b^{2}=13$，$ab = 2$（即$a^{2}b^{2}=4$）代入上式得：$a^{4}+b^{4}=13^{2}-2×4=169 - 8 = 161$。
综上，答案依次为：(1)$19$；(2)$161$。
已知$a + b = 5$，对$(a + b)^2$展开可得$(a + b)^2=a^{2}+2ab + b^{2}$。
将$a + b = 5$两边同时平方得$(a + b)^2 = 25$，即$a^{2}+2ab + b^{2}=25$。
又因为$ab = 3$，把$ab = 3$代入$a^{2}+2ab + b^{2}=25$中，得到$a^{2}+b^{2}+2×3 = 25$。
所以$a^{2}+b^{2}=25 - 6=19$。
(2)
已知$a - b = 3$，对$(a - b)^2$展开可得$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$。
将$a - b = 3$两边同时平方得$(a - b)^2 = 9$，即$a^{2}-2ab + b^{2}=9$。
因为$ab = 2$，把$ab = 2$代入$a^{2}-2ab + b^{2}=9$中，得到$a^{2}+b^{2}-2×2 = 9$，所以$a^{2}+b^{2}=9 + 4 = 13$。
对$(a^{2}+b^{2})^2$展开可得$(a^{2}+b^{2})^2=a^{4}+2a^{2}b^{2}+b^{4}$。
则$a^{4}+b^{4}=(a^{2}+b^{2})^2-2a^{2}b^{2}$。
把$a^{2}+b^{2}=13$，$ab = 2$（即$a^{2}b^{2}=4$）代入上式得：$a^{4}+b^{4}=13^{2}-2×4=169 - 8 = 161$。
综上，答案依次为：(1)$19$；(2)$161$。
14.(8分)观察下列各式:
$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$,
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$,
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$,
$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1$.
(1)根据上面各式的规律可得:$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+···+x^{2}+x + 1)=$
(2)根据(1)求$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}$的值,并求出它的个位数字.
$(x - 1)(x + 1)=x^{2}-1$,
$(x - 1)(x^{2}+x + 1)=x^{3}-1$,
$(x - 1)(x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{4}-1$,
$(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)=x^{5}-1$.
(1)根据上面各式的规律可得:$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+···+x^{2}+x + 1)=$
$x^{n + 1}-1$
(其中$n$为正整数).(2)根据(1)求$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}$的值,并求出它的个位数字.
答案
(1)
根据规律可得：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+···+x^{2}+x + 1)=x^{n + 1}-1$
(2)
由（1）可知$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}=(2 - 1)(1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63})=2^{64}-1$
因为$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，个位数字以$2$、$4$、$8$、$6$循环，
$64÷4 = 16$
所以$2^{64}$的个位数字是$6$，则$2^{64}-1$的个位数字是$5$
综上，$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}$的值为$2^{64}-1$，个位数字是$5$。
根据规律可得：$(x - 1)(x^{n}+x^{n - 1}+···+x^{2}+x + 1)=x^{n + 1}-1$
(2)
由（1）可知$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}=(2 - 1)(1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63})=2^{64}-1$
因为$2^{1}=2$，$2^{2}=4$，$2^{3}=8$，$2^{4}=16$，$2^{5}=32$，$2^{6}=64$，$2^{7}=128$，个位数字以$2$、$4$、$8$、$6$循环，
$64÷4 = 16$
所以$2^{64}$的个位数字是$6$，则$2^{64}-1$的个位数字是$5$
综上，$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+···+2^{62}+2^{63}$的值为$2^{64}-1$，个位数字是$5$。
