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14. (★★)图 22.1-8 是某座抛物线形桥的示意图,已知抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{36}x^{2}+10$,为保障桥的安全,在该抛物线上距水面$AB高为8.5米的E,F$处要安装两盏警示灯,则这两盏警示灯的水平距离$EF$是
$6\sqrt{6}$
米.答案
$6\sqrt{6}$
解析
当$y = 8.5$时，$-\frac{1}{36}x^{2}+10=8.5$，解得$x^{2}=54$，$x = \pm 3\sqrt{6}$。则$E(-3\sqrt{6},8.5)$，$F(3\sqrt{6},8.5)$，$EF=3\sqrt{6}-(-3\sqrt{6})=6\sqrt{6}$。
15. (★)(2025·邯郸模拟)在平面直角坐标系中,二次函数$y = mx^{2}-m$的图象如图 22.1-9 所示,则坐标原点可能是【
A.点$D$
B.点$C$
C.点$B$
D.点$A$
B
】A.点$D$
B.点$C$
C.点$B$
D.点$A$
答案
B
解析
二次函数$y = mx^2 - m$可化为$y = m(x - 1)(x + 1)$，与x轴交点为$(-1,0)$和$(1,0)$，对称轴为y轴（$x=0$，即原点所在直线）。两交点$(-1,0)$和$(1,0)$关于原点对称，原点在两交点之间。图中x轴上A、B、C、D从左到右排列，原点为两交点中点，故可能是点C。
16. (★★)(2022·荆门)抛物线$y = x^{2}+3上有两点A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$,若$y_{1}＜y_{2}$,则下列结论正确的是【
A.$0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
B.$x_{2}＜x_{1}\leqslant0$
C.$x_{2}＜x_{1}\leqslant0或0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
D.以上都不对
D
】A.$0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
B.$x_{2}＜x_{1}\leqslant0$
C.$x_{2}＜x_{1}\leqslant0或0\leqslant x_{1}＜x_{2}$
D.以上都不对
答案
D
解析
抛物线$y=x^2 + 3$的对称轴为$y$轴（$x=0$），开口向上。当$x \geq 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x \leq 0$时，$y$随$x$的增大而减小。若$y_1 ＜ y_2$，可能的情况有：①$0 \leq x_1 ＜ x_2$；②$x_2 ＜ x_1 \leq 0$；③$x_1 ＜ 0 ＜ x_2$且$|x_1| ＜ |x_2|$；④$x_2 ＜ 0 ＜ x_1$且$|x_2| ＜ |x_1|$等。选项A、B、C均只包含部分情况，不全面。
1. (★) 抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点坐标为
$(h,0)$
,对称轴为直线$x=h$
.答案
$(h,0)$；$x=h$
解析
抛物线$y=a(x-h)^2$是顶点式，其顶点坐标为$(h,0)$，对称轴为直线$x=h$。
2. (★) 抛物线 $ y = 2x^2 $ 和 $ y = 2x^2 + 1 $ 的共同点是：对称轴都是
y轴
,开口方向向上
,开口大小相同
.答案
y轴，向上，相同
解析
对于抛物线$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，开口方向由$a$的符号决定，开口大小由$|a|$决定。
抛物线$y=2x^2$中，$a=2$，$b=0$，所以对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），开口方向向上，$|a|=2$。
抛物线$y=2x^2 + 1$中，$a=2$，$b=0$，所以对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），开口方向向上，$|a|=2$。
综上，共同点是对称轴都是$y$轴，开口方向向上，开口大小相同。
抛物线$y=2x^2$中，$a=2$，$b=0$，所以对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），开口方向向上，$|a|=2$。
抛物线$y=2x^2 + 1$中，$a=2$，$b=0$，所以对称轴为直线$x=0$（即$y$轴），开口方向向上，$|a|=2$。
综上，共同点是对称轴都是$y$轴，开口方向向上，开口大小相同。
3. (★) 对于函数 $ y = -3(x - 5)^2 $ 的图象,下列说法不正确的是【
A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = 5 $
C.最大值为 $ 0 $
D.与 $ y $ 轴不相交
D
】A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = 5 $
C.最大值为 $ 0 $
D.与 $ y $ 轴不相交
答案
D
解析
函数 $y = -3(x - 5)^2$ 是二次函数，标准形式为 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $a = -3$，$h = 5$，$k = 0$。
1. $a = -3 ＜ 0$，开口向下，选项 A 正确。
2. 对称轴为 $x = h = 5$，选项 B 正确。
3. 顶点为 $(5, 0)$，开口向下，最大值为 $0$，选项 C 正确。
4. 令 $x = 0$，得 $y = -3(0 - 5)^2 = -75$，与 $y$ 轴交于 $(0, -75)$，选项 D 错误。
4. (★) 把抛物线 $ y = x^2 $ 向右平移 $ 1 $ 个单位长度,所得新抛物线的函数表达式为【
A.$ y = x^2 + 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 $
C.$ y = x^2 - 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 $
D
】A.$ y = x^2 + 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 $
C.$ y = x^2 - 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 $
答案
D
解析
抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。原抛物线为$y = x^2$，向右平移1个单位长度，根据“右减”原则，将$x$替换为$x - 1$，得到新抛物线表达式为$y=(x - 1)^2$。
5. (★) 下列说法正确的是【
A.抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 2 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (\frac{1}{2}, -2) $
B.抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (0, 3) $
C.抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (1, 0) $
D.抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 $ 的对称轴是直线 $ x = -2 $,顶点坐标是 $ (-2, 0) $
D
】A.抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 - 2 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (\frac{1}{2}, -2) $
B.抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x - 3)^2 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (0, 3) $
C.抛物线 $ y = x^2 + 1 $ 的对称轴是 $ y $ 轴,顶点坐标是 $ (1, 0) $
D.抛物线 $ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 $ 的对称轴是直线 $ x = -2 $,顶点坐标是 $ (-2, 0) $
答案
D
解析
A选项：对于抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2} - 2$，其对称轴是$y$轴，即$x = 0$，顶点坐标为$(0, -2)$，与选项A中的顶点坐标$(\frac{1}{2}, -2)$不符，所以A选项错误。
B选项：对于抛物线$y = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}$，其对称轴是$x = 3$，顶点坐标为$(3, 0)$，与选项B中的对称轴$y$轴和顶点坐标$(0, 3)$都不符，所以B选项错误。
C选项：对于抛物线$y = x^{2} + 1$，其对称轴是$y$轴，即$x = 0$，顶点坐标为$(0, 1)$，与选项C中的顶点坐标$(1, 0)$不符，所以C选项错误。
D选项：对于抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2}$，其对称轴是$x = -2$，顶点坐标为$(-2, 0)$，与选项D中的对称轴和顶点坐标都相符，所以D选项正确。
B选项：对于抛物线$y = \frac{1}{2}(x - 3)^{2}$，其对称轴是$x = 3$，顶点坐标为$(3, 0)$，与选项B中的对称轴$y$轴和顶点坐标$(0, 3)$都不符，所以B选项错误。
C选项：对于抛物线$y = x^{2} + 1$，其对称轴是$y$轴，即$x = 0$，顶点坐标为$(0, 1)$，与选项C中的顶点坐标$(1, 0)$不符，所以C选项错误。
D选项：对于抛物线$y = \frac{1}{2}(x + 2)^{2}$，其对称轴是$x = -2$，顶点坐标为$(-2, 0)$，与选项D中的对称轴和顶点坐标都相符，所以D选项正确。
