1. (★)在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球,两次都摸到黑球的概率是【】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$

A

本题可先求出所有可能的结果数，再求出两次都摸到黑球的结果数，最后根据古典概型概率公式计算两次都摸到黑球的概率。
步骤一：计算所有可能的结果数
已知袋子里有一个黑球和一个白球，第一次摸球时，有$2$种可能的结果（摸到黑球或摸到白球）；因为每次摸完球后都放回袋子并充分摇匀，所以第二次摸球时，同样有$2$种可能的结果。
根据分步乘法计数原理：完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1× m_2×\cdots× m_n$种不同的方法。
所以两次摸球所有可能的结果数为$2×2 = 4$种，分别为（黑，黑）、（黑，白）、（白，黑）、（白，白）。
步骤二：计算两次都摸到黑球的结果数
由上述分析可知，两次都摸到黑球的结果只有$1$种，即（黑，黑）。
步骤三：根据古典概型概率公式计算概率
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本结果个数，$n$表示基本事件的总数。
设“两次都摸到黑球”为事件$A$，则$n = 4$，$m = 1$，所以$P(A)=\frac{1}{4}$。

2. (★)要从小强、小红和小华三人中随机选两人作为旗手,则小强和小红同时入选的概率是【】
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{6}$

B

列出所有可能的选法：（小强，小红）、（小强，小华）、（小红，小华），共3种等可能结果。其中小强和小红同时入选的结果有1种，所以概率为$\frac{1}{3}$。

3. (★)周末,小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动,那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为【】
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$

B

小明从甲、乙、丙三个社区中选一个，有3种选法；小亮同样有3种选法，所以总共有$3×3 = 9$种等可能的结果。小明和小亮选到同一社区的情况有（甲，甲）、（乙，乙）、（丙，丙），共3种。因此概率为$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。

4. (★)我国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱(如图25.2-1)。假设神舟十八号甲、乙、丙三名航天员从天和核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等,现在要从这三名航天员中选2人各进入一个实验舱开展科学实验,则甲、乙两人同时被选中的概率为【 】


A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$

B

列表法列出所有可能情况：从甲、乙、丙中选2人，每人进入一个实验舱（问天或梦天），共有以下情况：
(甲问天,乙梦天)、(甲梦天,乙问天)、(甲问天,丙梦天)、(甲梦天,丙问天)、(乙问天,丙梦天)、(乙梦天,丙问天)，共6种等可能结果。
其中甲、乙两人同时被选中的情况有2种：(甲问天,乙梦天)、(甲梦天,乙问天)。
所以概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。

5. (★)如图25.2-2,同时自由转动两个质地均匀的转盘,指针落在每一个数上的机会均等,转盘停止后,两个指针同时落在奇数上的概率是______。

1/2

第一个转盘奇数有1、3，共2个，概率为2/3；第二个转盘奇数有1、3、5，共3个，概率为3/4。两个指针同时落在奇数上的概率为2/3×3/4=1/2。

6. (★★)一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球(除颜色外,其他都相同),其中红球有2个,黄球有1个,从中任意摸出一个球是红球的概率为$\frac{1}{2}$。
(1)试求袋中绿球的个数；
(2)第一次从袋中任意摸出一个球不放回,第二次再任意摸出一个球,求两次都摸到红球的概率。

(1) 设袋中绿球的个数为 $x$ 个。
根据题意，袋中球的总数为 $2 + 1 + x = 3 + x$ 个。
由从中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{1}{2}$，可得：
$\frac{2}{3 + x} = \frac{1}{2}$，
解这个方程，得到：
$4 = 3 + x$，
$x = 1$，
答：袋中绿球的个数为 1 个。
(2) 设两个红球分别为 $R_1$ 和 $R_2$，黄球为 $Y$，绿球为 $G$。
第一次摸球有 4 种可能（$R_1, R_2, Y, G$），第二次摸球根据第一次的结果有 3 种可能，因此总共有 $4 × 3 = 12$ 种等可能的结果。
两次都摸到红球的情况有：$(R_1, R_2)$ 和 $(R_2, R_1)$，共 2 种。
所以两次都摸到红球的概率为：
$P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$，
答：两次都摸到红球的概率为 $\frac{1}{6}$。