19. (本题 10 分)
如图,以$□ ABCD的边AB$,$AD为边分别向外作等边\triangle ABE和等边\triangle ADF$,连接$CE$,$CF分别交AB$,$AD于点M$,$N$.
(1)求证：$EC= CF$.
(2)求$\angle ECF$的度数.

(1) 见解析；(2) $60°$。

(1) 证明：在平行四边形$ABCD$中，$AB=CD$，$AD=BC$，$\angle ABC=\angle ADC$。
∵$\triangle ABE$是等边三角形，∴$BE=AB$，$\angle ABE=60°$。
∵$\triangle ADF$是等边三角形，∴$DF=AD$，$\angle ADF=60°$。
∴$BE=CD$，$BC=DF$。
∵$\angle EBC=\angle ABC+\angle ABE$，$\angle CDF=\angle ADC+\angle ADF$，且$\angle ABC=\angle ADC$，
∴$\angle EBC=\angle CDF$。
在$\triangle EBC$和$\triangle CDF$中，
$\begin{cases} BE=CD \\ \angle EBC=\angle CDF \\ BC=DF \end{cases}$，
∴$\triangle EBC \cong \triangle CDF(SAS)$，∴$EC=CF$。
(2) 设$\angle BAD=\alpha$，则$\angle BCD=\alpha$（平行四边形对角相等），$\angle ABC=180°-\alpha$（平行四边形邻角互补）。
由(1)中$\triangle EBC \cong \triangle CDF$，得$\angle BCE=\angle DFC$，设$\angle BCE=x$，则$\angle DFC=x$。
在$\triangle CDF$中，$\angle CDF=\angle ADC+\angle ADF=(180°-\alpha)+60°=240°-\alpha$，
∴$\angle DCF=180°-\angle CDF-\angle DFC=180°-(240°-\alpha)-x=\alpha-x-60°$。
在$\triangle EBC$中，$\angle EBC=\angle ABC+\angle ABE=(180°-\alpha)+60°=240°-\alpha$，
∴$\angle BCE=180°-\angle EBC-\angle BEC$，即$x=180°-(240°-\alpha)-\angle BEC$，
∴$\angle BEC=\alpha-x-60°$，故$\angle BEC=\angle DCF$。
∵$\angle ECF=\angle BCD-\angle BCE-\angle DCF$，
∴$\angle ECF=\alpha-x-(\alpha-x-60°)=60°$。

20. (本题 10 分)
如图,在四边形$ABCD$中,$AB= CD$,点$M$,$N$,$E$,$F分别是BD$,$AC$,$BC$,$MN$的中点,连接$ME$,$NE$.
(1)猜想$\triangle MEN$的形状,并证明你的猜想；
(2)判断$EF与MN$的位置关系.写出你的结论,并说明理由.

(1)
猜想：$\triangle MEN$是等腰三角形。
证明：
$\because$点$M$，$N$，$E$分别是$BD$，$AC$，$BC$的中点，
$\therefore ME$，$NE$是$\triangle BCD$，$\triangle ABC$的中位线，
$\therefore ME=\frac{1}{2}CD$，$NE =\frac{1}{2}AB$，
$\because AB = CD$，
$\therefore ME=NE$，
$\therefore \triangle MEN$是等腰三角形。
(2)
结论：$EF\perp MN$。
理由：
$\because$点$F$是$MN$的中点，
在等腰$\triangle MEN$中，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore EF\perp MN$。