4. 如图,已知∠ADE = ∠B = ∠C。求证：
(1)∠CDE = ∠A；
(2)∠ADB = ∠E。

（1）
$\because \angle ADC$是$\triangle ABD$的外角
$\therefore \angle ADC=\angle B+\angle A$
$\because \angle ADC = \angle ADE + \angle CDE$
$\therefore \angle ADE + \angle CDE=\angle B+\angle A$
$\because \angle ADE=\angle B$
$\therefore \angle CDE = \angle A$
（2）
$\because \angle AED$是$\triangle CDE$的外角
$\therefore \angle AED=\angle C+\angle CDE$
$\because \angle B = \angle C$，$\angle CDE = \angle A$
$\therefore \angle AED=\angle B+\angle A$
$\because \angle ADB$是$\triangle ABD$的外角
$\therefore \angle ADB=\angle B+\angle A$
$\therefore \angle ADB = \angle AED$

5. 如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上运动,点A在y轴正半轴上运动,BD是∠ABO的平分线,AD是∠CAO的平分线,BD与AD相交于点D,则∠ADB为()

A.15°
B.30°
C.45°
D.60°

C

设∠OBA=α，∠OAB=β，∵∠AOB=90°，∴α+β=90°。
∵BD平分∠ABO，∴∠ABD=α/2。
∵∠CAO=180°-β（邻补角定义），AD平分∠CAO，∴∠DAO=(180°-β)/2=90°-β/2。
∠DAB=∠DAO+∠OAB=90°-β/2+β=90°+β/2。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠DAB-∠ABD=180°-(90°+β/2)-α/2=90°-(α+β)/2=90°-45°=45°。

6. 如图,∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = 。

360°

连接中间交点，设交叉形成的对顶角为∠1和∠2。在上方三角形中，∠E+∠F=∠1（外角性质）；在左下方三角形中，∠A+∠B=∠2（外角性质）；在右下方三角形中，∠C+∠D=∠1（对顶角相等，外角性质）。因为∠1+∠2+∠1=360°（周角定义），所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠2+∠1+∠1=360°。

7. 某小组利用活动课进行三角形外角知识的相关课题研究,制定的项目式学习表如下,请你解答任务中的问题。

(1)
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠A+∠B（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∵∠APC是△PEC的外角，
∴∠APC=∠AEC+∠C（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∴∠C=∠APC - ∠AEC=∠APC - (∠A+∠B)．
∵∠A=30°，∠B=40°，∠APC=110°，
∴∠C=110° - (30°+40°)=40°．
(2)∠APC=∠A+∠B+∠C．理由如下：
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC=∠A+∠B（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∵∠APC是△PEC的外角，
∴∠APC=∠AEC+∠C（三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
∴∠APC=∠A+∠B+∠C．

(1)
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠C=40°+∠C。
∵∠APC是△ADP的外角，
∴∠APC=∠A+∠ADC=30°+∠ADC。
∵∠APC=110°，
∴110°=30°+40°+∠C，
解得∠C=40°。
(2)
猜想：∠APC=∠A+∠B+∠C。
理由：
∵∠ADC是△BCD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠C。
∵∠APC是△ADP的外角，
∴∠APC=∠A+∠ADC。
∴∠APC=∠A+∠B+∠C。