13. 计算：
(1) $(-x)^{4} \cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3} \cdot (-x)^{4}$；
(2) $y \cdot y^{2} \cdot y^{m + 2} - 2y^{m} \cdot y^{5}$；
(3) $(x - y)^{2} \cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4} \cdot (y - x)$。

(1)
$(-x)^{4} \cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3} \cdot (-x)^{4}$
$=x^{4} \cdot x^{3} - x^{7} - 2x^{3} \cdot x^{4}$
$=x^{7} - x^{7} - 2x^{7}$
$=-2x^{7}$
(2)
$y \cdot y^{2} \cdot y^{m + 2} - 2y^{m} \cdot y^{5}$
$=y^{3+m+2} - 2y^{m+5}$
$=y^{m + 5} - 2y^{m + 5}$
$=-y^{m + 5}$
(3)
因为$(y - x) = -(x - y)$，
所以$(x - y)^{2} \cdot (x - y)^{3} - (x - y)^{4} \cdot (y - x)$
$=(x - y)^{5} + (x - y)^{4} \cdot (x - y)$
$=(x - y)^{5} + (x - y)^{5}$
$=2(x - y)^{5}$

14. 已知 $x^{a + b} \cdot x^{2b - a} = x^{9}$,求 $(-3)^{b} \cdot (-3)^{3}$ 的值。

解题过程如下：
根据同底数幂的乘法法则，有：
$x^{a + b} \cdot x^{2b - a} = x^{(a + b) + (2b - a)} = x^{3b} $，
由题目条件 $x^{3b} = x^{9}$，可得：
$3b = 9$，
解得：
$b = 3$，
将 $b = 3$ 代入 $(-3)^{b} \cdot (-3)^{3}$，计算得：
$(-3)^{3} \cdot (-3)^{3} = (-3)^{3+3} = (-3)^{6} = 729$，
所以，$(-3)^{b} \cdot (-3)^{3}$ 的值为 $729$。

15. 已知 $2^{a} = 3$,$2^{b} = 5$,$2^{c} = 30$,求 $a$,$b$,$c$ 之间的数量关系。

$\because 2^a = 3$，$2^b = 5$，
$\therefore 2^a × 2^b = 3 × 5 = 15$，
又$\because 2^c = 30 = 15 × 2 = 2^a × 2^b × 2^1$，
根据同底数幂乘法法则：$2^a × 2^b × 2^1 = 2^{a + b + 1}$，
$\therefore 2^c = 2^{a + b + 1}$，
$\therefore c = a + b + 1$。
结论：$c = a + b + 1$

16. (1) 定义一种新运算 $(a, b)$,若 $a^{c} = b$,则 $(a, b) = c$,例 $(2, 8) = 3$,$(3, 81) = 4$。若 $(4, n) = 3$,则 $n = $；若 $(3, 7) + (3, 11) = (3, m)$,则 $m$ 的值为。
(2) 已知 $x$ 满足 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$,则 $x$ 的值为。

(1) $64$，$77$；
(2) $2$

(1)
对于 $(4, n) = 3$，根据定义有 $4^3 = n$，所以 $n = 64$。
对于 $(3, 7) + (3, 11) = (3, m)$，设 $(3, 7) = x$，$(3, 11) = y$，则 $3^x = 7$，$3^y = 11$。
根据同底数幂的乘法规则，$3^{x+y} = 3^x × 3^y = 7 × 11 = 77$，所以 $(3, m) = x + y$，即 $m = 77$。
(2)
已知 $2^{2x + 2} - 2^{2x + 1} = 32$，提取公因子 $2^{2x + 1}$，得到 $2^{2x + 1} × (2 - 1) = 32$，即 $2^{2x + 1} = 32$。
因为 $32 = 2^5$，所以 $2x + 1 = 5$，解得 $x = 2$。

【典型例题 1】计算：
(1)$[(-3)^{2}]^{3}$；(2)$(x^{a + 1})^{3}$；
(3)$-(x^{3})^{4}$；
(4)$(a + b)^{2}·[(a + b)^{2}]^{3}$。

思路导引 依据“幂的乘方,底数不变,指数相乘”的运算法则进行计算。
【解】
(1)$[(-3)^{2}]^{3} = (-3)^{2×3} = (-3)^{6} = 3^{6}$。
(2)$(x^{a + 1})^{3} = x^{(a + 1)×3} = x^{3a + 3}$。
(3)$-(x^{3})^{4} = -x^{3×4} = -x^{12}$。
(4)$(a + b)^{2}·[(a + b)^{2}]^{3} = (a + b)^{2}·(a + b)^{2×3} = (a + b)^{2}·(a + b)^{6} = (a + b)^{2 + 6} = (a + b)^{8}$。

1. 下列式子成立的是()

A.$(x^{3})^{3} = x^{6}$
B.$(7^{2})^{m} = (7^{m})^{2}$
C.$(y^{x})^{5} = y^{x + 5}$
D.$(-a)^{2} = -a^{2}$

B

A. 根据幂的乘方法则，$(x^3)^3 = x^{3 × 3} = x^9$，与$x^6$不相等，故A错误。
B. 根据幂的乘方法则，$(7^2)^m = 7^{2m}$，$(7^m)^2 = 7^{2m}$，两者相等，故B正确。
C. 根据幂的乘方法则，$(y^x)^5 = y^{5x}$，与$y^{x+5}$不相等，故C错误。
D. 根据积的乘方法则，$(-a)^2 = a^2$，与$-a^2$不相等，故D错误。