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6. (2024·四川雅安中考)已知$\dfrac{2}{a}+\dfrac{1}{b}= 1(a + b\neq0)$,则$\dfrac{a + ab}{a + b}= $(
A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
C
)A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.2
D.3
答案
C
解析
由$\dfrac{2}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$，通分得$\dfrac{2b + a}{ab} = 1$，即$a + 2b = ab$，移项得$ab - a = 2b$，$a(b - 1) = 2b$，$a = \dfrac{2b}{b - 1}$。
将$a = \dfrac{2b}{b - 1}$代入$\dfrac{a + ab}{a + b}$，分子：$a + ab = a(1 + b) = \dfrac{2b}{b - 1}(b + 1) = \dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}$；分母：$a + b = \dfrac{2b}{b - 1} + b = \dfrac{2b + b(b - 1)}{b - 1} = \dfrac{2b + b^2 - b}{b - 1} = \dfrac{b^2 + b}{b - 1} = \dfrac{b(b + 1)}{b - 1}$。
则原式$= \dfrac{\dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\dfrac{b(b + 1)}{b - 1}} = 2$。
将$a = \dfrac{2b}{b - 1}$代入$\dfrac{a + ab}{a + b}$，分子：$a + ab = a(1 + b) = \dfrac{2b}{b - 1}(b + 1) = \dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}$；分母：$a + b = \dfrac{2b}{b - 1} + b = \dfrac{2b + b(b - 1)}{b - 1} = \dfrac{2b + b^2 - b}{b - 1} = \dfrac{b^2 + b}{b - 1} = \dfrac{b(b + 1)}{b - 1}$。
则原式$= \dfrac{\dfrac{2b(b + 1)}{b - 1}}{\dfrac{b(b + 1)}{b - 1}} = 2$。
7. (2024·河北中考)已知$A$为整式,若计算$\dfrac{A}{xy + y^{2}}-\dfrac{y}{x^{2}+xy}的结果为\dfrac{x - y}{xy}$,则$A= $(
A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
A
)A.$x$
B.$y$
C.$x + y$
D.$x - y$
答案
A
解析
根据题意，有：
$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy} = \frac{x - y}{xy}$，
首先，对分母进行因式分解，得到：
$xy + y^{2} = y(x + y)$，
$x^{2} + xy = x(x + y)$，
将原式改写为：
$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$，
为了消去分母，将等式两边同时乘以$xy(x + y)$，得到：
$Ax - y^{2} = (x - y)(x + y)$，
展开并整理，得到：
$Ax - y^{2} = x^{2} - y^{2}$，
比较两边的项，可以得到：
$A = x$，
$\frac{A}{xy + y^{2}} - \frac{y}{x^{2} + xy} = \frac{x - y}{xy}$，
首先，对分母进行因式分解，得到：
$xy + y^{2} = y(x + y)$，
$x^{2} + xy = x(x + y)$，
将原式改写为：
$\frac{A}{y(x + y)} - \frac{y}{x(x + y)} = \frac{x - y}{xy}$，
为了消去分母，将等式两边同时乘以$xy(x + y)$，得到：
$Ax - y^{2} = (x - y)(x + y)$，
展开并整理，得到：
$Ax - y^{2} = x^{2} - y^{2}$，
比较两边的项，可以得到：
$A = x$，
8. 一组学生春游,预计共需总车费 120 元,后来人数增加了$\dfrac{1}{4}$,但总车费不变.如果这组学生原有$a$人,那么增加人数后每人少花
$\frac{24}{a}$
元.答案
$\frac{24}{a}$（答案以表达式形式给出，符合题目要求的“每人少花______元”的填空形式）。
解析
原有人数为$a$人时，每人需支付的车费为$\frac{120}{a}$元，人数增加了$\frac{1}{4}$后，人数变为$a × (1 + \frac{1}{4}) = \frac{5a}{4}$人，
此时，每人需支付的车费为：$\frac{120}{\frac{5a}{4}} = \frac{480}{5a} = \frac{96}{a}$元，
增加人数后每人少花的车费为：$\frac{120}{a} - \frac{96}{a} = \frac{24}{a}$元后的数值（即$\frac{24}{a}$元化简为按题目要求的形式），由于题目要求的是元为单位，且已经得出精确差值，因此无需进一步化简。
此时，每人需支付的车费为：$\frac{120}{\frac{5a}{4}} = \frac{480}{5a} = \frac{96}{a}$元，
增加人数后每人少花的车费为：$\frac{120}{a} - \frac{96}{a} = \frac{24}{a}$元后的数值（即$\frac{24}{a}$元化简为按题目要求的形式），由于题目要求的是元为单位，且已经得出精确差值，因此无需进一步化简。
9. 计算：$\dfrac{1}{1 - m}+\dfrac{1}{1 + m}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$.
答案
原式$=\dfrac{1}{1 - m}+\dfrac{1}{1 + m}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{1 + m}{(1 - m)(1 + m)}+\dfrac{1 - m}{(1 - m)(1 + m)}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{1 + m + 1 - m}{(1 + m)(1 - m)}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{2}{1 - m^{2}}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{2(m^{2}+1)}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}+\dfrac{2(1 - m^{2})}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}$
$=\dfrac{2m^{2}+2 + 2 - 2m^{2}}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}$
$=\dfrac{4}{1 - m^{4}}$
$=\dfrac{1 + m}{(1 - m)(1 + m)}+\dfrac{1 - m}{(1 - m)(1 + m)}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{1 + m + 1 - m}{(1 + m)(1 - m)}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{2}{1 - m^{2}}+\dfrac{2}{m^{2}+1}$
$=\dfrac{2(m^{2}+1)}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}+\dfrac{2(1 - m^{2})}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}$
$=\dfrac{2m^{2}+2 + 2 - 2m^{2}}{(1 - m^{2})(m^{2}+1)}$
$=\dfrac{4}{1 - m^{4}}$
10. 化简$\dfrac{a}{a^{2}-4}\cdot\dfrac{a + 2}{a^{2}-3a}-\dfrac{1}{2 - a}$,并求值,其中$a$,2,3 分别为一个三角形的三边长,且$a$为整数.
答案
1
解析
化简过程：
1. 因式分解分母：
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$，$a^2 - 3a = a(a-3)$。
2. 计算乘法部分：
$\dfrac{a}{(a-2)(a+2)} \cdot \dfrac{a+2}{a(a-3)} = \dfrac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)a(a-3)} = \dfrac{1}{(a-2)(a-3)}$（约分$a$与$a+2$）。
3. 计算减法部分：
原式$= \dfrac{1}{(a-2)(a-3)} - \dfrac{1}{2-a}$，
因$2 - a = -(a - 2)$，则$-\dfrac{1}{2 - a} = \dfrac{1}{a - 2}$，
通分：$\dfrac{1}{(a-2)(a-3)} + \dfrac{a - 3}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{1 + (a - 3)}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{a - 2}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{1}{a - 3}$（约分$a - 2$）。
确定$a$的值：
由三角形三边关系：$3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$，$a$为整数，故$a = 2, 3, 4$。
又分母不为0：$a^2 - 4 \neq 0$（$a \neq \pm 2$），$a^2 - 3a \neq 0$（$a \neq 0, 3$），$2 - a \neq 0$（$a \neq 2$），故$a = 4$。
代入求值：
当$a = 4$时，$\dfrac{1}{a - 3} = \dfrac{1}{4 - 3} = 1$。
1. 因式分解分母：
$a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$，$a^2 - 3a = a(a-3)$。
2. 计算乘法部分：
$\dfrac{a}{(a-2)(a+2)} \cdot \dfrac{a+2}{a(a-3)} = \dfrac{a(a+2)}{(a-2)(a+2)a(a-3)} = \dfrac{1}{(a-2)(a-3)}$（约分$a$与$a+2$）。
3. 计算减法部分：
原式$= \dfrac{1}{(a-2)(a-3)} - \dfrac{1}{2-a}$，
因$2 - a = -(a - 2)$，则$-\dfrac{1}{2 - a} = \dfrac{1}{a - 2}$，
通分：$\dfrac{1}{(a-2)(a-3)} + \dfrac{a - 3}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{1 + (a - 3)}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{a - 2}{(a-2)(a-3)} = \dfrac{1}{a - 3}$（约分$a - 2$）。
确定$a$的值：
由三角形三边关系：$3 - 2 ＜ a ＜ 3 + 2$，即$1 ＜ a ＜ 5$，$a$为整数，故$a = 2, 3, 4$。
又分母不为0：$a^2 - 4 \neq 0$（$a \neq \pm 2$），$a^2 - 3a \neq 0$（$a \neq 0, 3$），$2 - a \neq 0$（$a \neq 2$），故$a = 4$。
代入求值：
当$a = 4$时，$\dfrac{1}{a - 3} = \dfrac{1}{4 - 3} = 1$。
11. (2024·山东滨州中考)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹.设$a$,$b$,$c$为两两不同的数,称$P_{n}= \dfrac{a^{n}}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b^{n}}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c^{n}}{(c - a)(c - b)}(n = 0,1,2,3)$为欧拉分式.
(1)写出$P_{0}$对应的表达式；
(2)化简$P_{1}$对应的表达式.
(1)写出$P_{0}$对应的表达式；
(2)化简$P_{1}$对应的表达式.
答案
(1) 表达式见上；(2) $ 0 $
解析
(1) $ P_{0}=\dfrac{1}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{1}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{1}{(c - a)(c - b)} $
(2) $ P_{1}=\dfrac{a}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c}{(c - a)(c - b)} $
通分，公分母为$(a - b)(a - c)(b - c)$
$\begin{aligned}分子&=a(b - c)-b(a - c)+c(a - b)\\&=ab - ac - ab + bc + ac - bc\\&=0\end{aligned}$
故$ P_{1}=0 $
(2) $ P_{1}=\dfrac{a}{(a - b)(a - c)}+\dfrac{b}{(b - c)(b - a)}+\dfrac{c}{(c - a)(c - b)} $
通分，公分母为$(a - b)(a - c)(b - c)$
$\begin{aligned}分子&=a(b - c)-b(a - c)+c(a - b)\\&=ab - ac - ab + bc + ac - bc\\&=0\end{aligned}$
故$ P_{1}=0 $
