1. 如图,下列选项说法正确的是()


A.①是等腰三角形
B.②是等腰三角形
C.①和②均是等腰三角形
D.①和②都不是等腰三角形

B

对于①，三边长度分别为8，5，且未给出其他两边相等的信息，根据已知条件无法判断其为等腰三角形。
对于②，已知两个角分别为$50^{\circ}$和$80^{\circ}$，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可算出第三个角为$180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ}$。
因为有两个角都是$50^{\circ}$，即有两个角相等，所以②是等腰三角形。

2. 如图,在△ABC 中,CE,CF 分别平分∠ACB 和∠ACG,DE = 6,EF//BC,则 DF = .

$6$

由于$CF$平分$\angle ACG$，根据角平分线的性质，有$\angle ACF = \angle GCF$。
由于$EF // BC$，根据平行线的性质，得到$\angle FCG = \angle CFE$（内错角相等）。
由于$\angle ACF = \angle GCF$且$\angle FCG = \angle CFE$，可以推出$\angle ECF = \angle CFE$（等量代换）。
由于$\angle ECF = \angle CFE$，根据等腰三角形的性质，得到$EF = CE$（等角对等边）。
同理，由于$CE$平分$\angle ACB$，可以得到$DE = CE$（通过与上述相同的推理过程）。
已知$DE = 6$，由于$DE = CE$，所以$CE = 6$。
由于$EF = CE$，所以$EF = 6$。
最后，由于$DF = EF - DE$（因为$D$在$EF$上，且$E$在$D$的左侧），所以$DF = 6$。

3. 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 70°方向的 M 处,它以每小时 45 海里的速度向正北方向航行,2 小时后到达位于灯塔 P 的北偏东 40°的 N 处,则 N 处与灯塔 P 的距离为海里.

90

根据题意，$MN$为海轮航行的路程，
所以，$MN=45×2=90$（海里），
由方位角得：$\angle M=70°$，$\angle N=40°$，
根据三角形内角和定理，$\angle NPM=180°-70°-40°=70°=\angle M$，
所以，$\triangle NMP$为等腰三角形，
因此，$NP=MN=90$（海里）。

4. 如图,在△ABC 中,AB = AC,∠A = 36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 E,CD 平分∠ACB 交 BE 于点 D,图中有个等腰三角形.

7

∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)/2=72°。
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=72°/2=36°。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB=72°/2=36°。
在△ABE中，∠A=36°，∠ABE=36°，
∴∠AEB=180°-36°-36°=108°，AB=BE，△ABE是等腰三角形。
在△BEC中，∠EBC=36°，∠ECB=72°，
∴∠BEC=180°-36°-72°=72°，∠BEC=∠ECB，BE=BC，△BEC是等腰三角形。
在△BDC中，∠DBC=36°，∠DCB=36°，
∴∠BDC=180°-36°-36°=108°，BD=CD，△BDC是等腰三角形。
在△ADC中，∠A=36°，∠ACD=36°，
∴∠ADC=180°-36°-36°=108°，AD=CD，△ADC是等腰三角形。
在△ABC中，AB=AC，△ABC是等腰三角形。
共5个等腰三角形。
5

5. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(0,2),点 B 的坐标为(4,0),在 y 轴上取一点 C 使△ABC 为等腰三角形,符合条件的 C 点有个.

$4$

本题可分三种情况来讨论，即$AB = AC$，$BA = BC$，$CA = CB$，分别求出每种情况下满足条件的$C$点个数。
已知点$A$的坐标为$(0,2)$，点$B$的坐标为$(4,0)$，则$OA = 2$，$OB = 4$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
情况一：当$AB = AC$时
因为点$C$在$y$轴上，$A(0,2)$，$AB = 2\sqrt{5}$，所以$AC = 2\sqrt{5}$。
点$C$可能在点$A$上方或下方，此时$C$的坐标为$(0,2 + 2\sqrt{5})$或$(0,2 - 2\sqrt{5})$，共$2$个点。
情况二：当$BA = BC$时
因为$BA = 2\sqrt{5}$，$B(4,0)$，设$C(0,y)$，根据两点间距离公式$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，可得$\sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - y)^2}=2\sqrt{5}$，即$16 + y^2 = 20$，解得$y = \pm 2$，此时$C$点坐标为$(0,-2)$（$A(0,2)$，所以$C$不能为$(0,2)$），共$1$个点。
情况三：当$CA = CB$时
设$C(0,z)$，则$AC = |z - 2|$，$BC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (0 - z)^2}=\sqrt{16 + z^2}$。
由$CA = CB$可得$|z - 2| = \sqrt{16 + z^2}$，两边平方可得$(z - 2)^2 = 16 + z^2$，展开得$z^2 - 4z + 4 = 16 + z^2$，移项化简可得$-4z = 12$，解得$z = - 3$，共$1$个点。
综合以上三种情况，满足条件的$C$点共有$4$个。

6. 如图,∠BAC = ∠ABD,AC = BD,点 O 是 AD,BC 的交点,点 E 是 AB 的中点. 试判断 OE 和 AB 的位置关系,并说明理由.

答：OE⊥AB。
理由如下：
在△BAC和△ABD中，
$\begin{cases}AC = BD,\\\angle BAC=\angle ABD,\\AB = BA.\end{cases}$
根据SAS（边角边）定理，△BAC≌△ABD，
所以∠CAB = ∠DBA，
在△OAB中，
因为∠CAB = ∠DBA，
所以OA = OB，
又因为点E是AB的中点，
所以OE⊥AB（等腰三角形三线合一）。