4. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a＞0)的对称轴为直线x= 1$,与$x轴交于(x_{1},0),(x_{2},0)$两点,其中$2＜x_{2}＜3$.下列结论中,正确的是()
A.$x_{1}x_{2}＞0$
B.$x_{1}+x_{2}= 1$
C.$b^{2}-4ac＜0$
D.$a-b+c＞0$

D

∵抛物线对称轴为直线$x=1$，∴$-\frac{b}{2a}=1$，即$b=-2a$。与$x$轴交于$(x_1,0),(x_2,0)$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2$（韦达定理），故B错误；
∵$2＜x_2＜3$，且$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，∴$x_1=2-x_2$，则$-1＜x_1＜0$，即$x_1＜0$，$x_2＞0$，∴$x_1x_2＜0$，A错误；
抛物线与$x$轴有两个交点，∴$\Delta=b^2-4ac＞0$，C错误；
当$x=-1$时，$y=a-b+c$，∵$x=-1＜x_1$（$-1＜x_1＜0$），抛物线开口向上（$a＞0$），在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，∴$x=-1$时$y＞0$，即$a-b+c＞0$，D正确。

5. 如图,抛物线$y= -x^{2}+c与直线y= 2x+b交于A(-3,-4)$,$B(1,4)$两点,则关于$x的不等式-x^{2}+c＞2x+b$的解集是.

$-3＜x＜1$

由题意知，抛物线$y=-x^2 + c$与直线$y=2x + b$交于$A(-3,-4)$，$B(1,4)$两点。观察图像可知，抛物线在直线上方时对应的$x$的取值范围即为不等式$-x^2 + c＞2x + b$的解集。因为抛物线开口向下，且两交点的横坐标分别为$-3$和$1$，所以当$-3＜x＜1$时，抛物线在直线上方。

6. 已知二次函数$y= -x^{2}-x+2$的图象如图所示.
(1)方程$-x^{2}-x+2= 0$的解是；
(2)当$y＞0$时,$x$的取值范围是；
(3)当$y＞2$时,$x$的取值范围是.

(1)$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$；
(2)$-2＜x＜1$；
(3)$-1＜x＜0$

(1)解方程$-x^{2}-x+2=0$，即$x^{2}+x-2=0$，因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x_{1}=-2$，$x_{2}=1$。
(2)由函数图象可知，抛物线开口向下，与x轴交于$(-2,0)$和$(1,0)$，当$y＞0$时，$x$的取值范围是$-2＜x＜1$。
(3)令$y=2$，则$-x^{2}-x+2=2$，即$-x^{2}-x=0$，$x(x+1)=0$，解得$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$。由图象可知，抛物线开口向下，当$y＞2$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜0$。

7. 如图,这是二次函数$y= -x^{2}+bx+c$的图象.
(1)求关于$x的一元二次方程-x^{2}+bx+c= 0$的解；
(2)求该二次函数的解析式；
(3)若直线$y= k$与该二次函数的图象没有公共点,则$k$的取值范围是.

(1)$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$；(2)$y=-x^{2}-2x+3$；(3)$k＞4$。

(1) 由二次函数图象与x轴交点的横坐标为方程的解，观察图象可知交点为$(-3,0)$和$(1,0)$，故方程的解为$x_{1}=-3$，$x_{2}=1$。
(2) 设二次函数解析式为$y=-(x+3)(x-1)$，展开得$y=-(x^{2}-x+3x-3)=-x^{2}-2x+3$，故解析式为$y=-x^{2}-2x+3$。
(3) 二次函数顶点坐标为$(-1,4)$（当$x=-1$时，$y=-(-1)^{2}-2(-1)+3=4$），因抛物线开口向下，最大值为$4$，故$k＞4$时直线与抛物线无公共点，取值范围为$k＞4$。