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题型 3 计算：$4(x + 1)^2 - (2x + 5)(2x - 5)$.
答案
解：
$\begin{aligned}&4(x + 1)^2 - (2x + 5)(2x - 5)\\=&4(x^2 + 2x + 1) - (4x^2 - 25)\\=&4x^2 + 8x + 4 - 4x^2 + 25\\=&8x + 29\end{aligned}$
$\begin{aligned}&4(x + 1)^2 - (2x + 5)(2x - 5)\\=&4(x^2 + 2x + 1) - (4x^2 - 25)\\=&4x^2 + 8x + 4 - 4x^2 + 25\\=&8x + 29\end{aligned}$
题型 4 计算：$(x + 2y + z)(x + 2y - z)$.
答案
解：
$\begin{aligned}&(x + 2y + z)(x + 2y - z)\\=&[(x + 2y)+z][(x + 2y)-z]\\=&(x + 2y)^2 - z^2\\=&x^2 + 4xy + 4y^2 - z^2\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(x + 2y + z)(x + 2y - z)\\=&[(x + 2y)+z][(x + 2y)-z]\\=&(x + 2y)^2 - z^2\\=&x^2 + 4xy + 4y^2 - z^2\end{aligned}$
学习小助手 将原式进一步转化为 $[(x + 2y) + z][(x + 2y) - z]$后,将 $(x + 2y)$ 看作一个整体,利用平方差公式计算后,再利用完全平方公式计算.
答案
$x^2 + 4xy + 4y^2 - z^2$
解析
设原式为$(x + 2y + z)(x + 2y - z)$，将$(x + 2y)$看作整体，利用平方差公式得$(x + 2y)^2 - z^2$，再用完全平方公式展开$(x + 2y)^2$得$x^2 + 4xy + 4y^2$，最终结果为$x^2 + 4xy + 4y^2 - z^2$
1. 若 $(ax - y)^2 = 4x^2 - 4xy + by^2$,则 $a$,$b$ 的值分别为(
A.$a = 2$,$b = 1$
B.$a = -2$,$b = 1$
C.$a = -2$,$b = -1$
D.$a = 4$,$b = 1$
A
)A.$a = 2$,$b = 1$
B.$a = -2$,$b = 1$
C.$a = -2$,$b = -1$
D.$a = 4$,$b = 1$
答案
A
解析
$(ax - y)^2 = a^2x^2 - 2axy + y^2$，对比$4x^2 - 4xy + by^2$，得$\begin{cases}a^2 = 4\\-2a = -4\\b = 1\end{cases}$，解得$a = 2$，$b = 1$。A
2. 已知 $a = 4 - 3b$,则式子 $a^2 + 6ab + 9b^2$ 的值为$\underline{
16
}$.答案
16
解析
$a^2 + 6ab + 9b^2=(a + 3b)^2$，
因为$a = 4 - 3b$，所以$a + 3b=4$，
则$(a + 3b)^2=4^2=16$。
16
因为$a = 4 - 3b$，所以$a + 3b=4$，
则$(a + 3b)^2=4^2=16$。
16
3. 已知 $x + y = 6$,$xy = 5$,求下列各式的值：
(1)$(x - y)^2$；
(2)$x^2 + y^2$.
(1)$(x - y)^2$；
(2)$x^2 + y^2$.
答案
(1)
∵x+y=6,xy=5,
∴$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4xy=6^{2}-4×5=16$.
(2)
∵x+y=6,xy=5,
∴$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=6^{2}-2×5=26$
1. 若 $(ax + 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + by^2$,则 $a$,$b$ 的值分别为(
A.$2$,$9$
B.$2$,$-9$
C.$-2$,$9$
D.$-4$,$9$
C
)A.$2$,$9$
B.$2$,$-9$
C.$-2$,$9$
D.$-4$,$9$
答案
C
解析
$(ax + 3y)^2 = a^2x^2 + 6axy + 9y^2$，
因为$(ax + 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + by^2$，
所以$\begin{cases}a^2 = 4\\6a = -12\\b = 9\end{cases}$，
由$6a = -12$得$a = -2$，
将$a = -2$代入$a^2 = 4$，等式成立，
所以$a = -2$，$b = 9$。
C
因为$(ax + 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + by^2$，
所以$\begin{cases}a^2 = 4\\6a = -12\\b = 9\end{cases}$，
由$6a = -12$得$a = -2$，
将$a = -2$代入$a^2 = 4$，等式成立，
所以$a = -2$，$b = 9$。
C
2. 下列等式不成立的是(
A.$(a + b)^2 = (-a - b)^2$
B.$(a - b)^2 = (b - a)^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
D.$(a + b)^2 = (b + a)^2$
C
)A.$(a + b)^2 = (-a - b)^2$
B.$(a - b)^2 = (b - a)^2$
C.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
D.$(a + b)^2 = (b + a)^2$
答案
C
解析
A. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(-a - b)^2 = [-(a + b)]^2 = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，等式成立；
B. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(b - a)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，等式成立；
C. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，当$ab \neq 0$时，$a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2$，等式不成立；
D. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(b + a)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，等式成立。
C
B. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$(b - a)^2 = [-(a - b)]^2 = (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，等式成立；
C. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，当$ab \neq 0$时，$a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2$，等式不成立；
D. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(b + a)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，等式成立。
C
3. 计算 $120^2 - 40×120 + 20^2$ 的结果是(
A.$10000$
B.$1200$
C.$800$
D.$22500$
A
)A.$10000$
B.$1200$
C.$800$
D.$22500$
答案
A
解析
$120^2 - 40×120 + 20^2$
$=120^2 - 2×20×120 + 20^2$
$=(120 - 20)^2$
$=100^2$
$=10000$
A
$=120^2 - 2×20×120 + 20^2$
$=(120 - 20)^2$
$=100^2$
$=10000$
A
4. 已知 $a - b = 5$,$ab = -4$,则 $1 - a^2 - b^2$ 的值为$\underline{
-16
}$.答案
-16
解析
因为$a - b = 5$，所以$(a - b)^2 = 5^2 = 25$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 25$。
又因为$ab = -4$，所以$a^2 + b^2 = 25 + 2ab = 25 + 2×(-4) = 25 - 8 = 17$。
则$1 - a^2 - b^2 = 1 - (a^2 + b^2) = 1 - 17 = -16$。
$-16$
又因为$ab = -4$，所以$a^2 + b^2 = 25 + 2ab = 25 + 2×(-4) = 25 - 8 = 17$。
则$1 - a^2 - b^2 = 1 - (a^2 + b^2) = 1 - 17 = -16$。
$-16$
5. 计算：$(-5a + 4b)^2 = \underline{
$25a^{2}-40ab+16b^{2}$
}$；$(-2ab + 3)^2 = \underline{$4a^{2}b^{2}-12ab+9$
}$.答案
$25a^{2}-40ab+16b^{2}$ $4a^{2}b^{2}-12ab+9$
6. 若 $x^2 + 2x = 1$,则 $(x + 1)^2$ 的值为$\underline{
2
}$.答案
2
解析
$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$，因为$x^2 + 2x = 1$，所以$(x + 1)^2 = 1 + 1 = 2$。
2
2
7. 如图,从边长为 $(a + 1)$cm 的正方形纸片中剪去一个边长为 $(a - 1)$cm 的正方形($a ＞ 1$),剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则该长方形的面积是(
A.$2\rm cm^2$
B.$2a\rm cm^2$
C.$4a\rm cm^2$
D.$(a^2 - 1)\rm cm^2$
C
)A.$2\rm cm^2$
B.$2a\rm cm^2$
C.$4a\rm cm^2$
D.$(a^2 - 1)\rm cm^2$
答案
C
解析
原正方形面积为$(a + 1)^2$，剪去的正方形面积为$(a - 1)^2$，剩余部分面积为$(a + 1)^2 - (a - 1)^2$。
$\begin{aligned}(a + 1)^2 - (a - 1)^2&=(a^2 + 2a + 1)-(a^2 - 2a + 1)\\&=a^2 + 2a + 1 - a^2 + 2a - 1\\&=4a\end{aligned}$
长方形面积等于剩余部分面积，为$4a\ cm^2$。
C
$\begin{aligned}(a + 1)^2 - (a - 1)^2&=(a^2 + 2a + 1)-(a^2 - 2a + 1)\\&=a^2 + 2a + 1 - a^2 + 2a - 1\\&=4a\end{aligned}$
长方形面积等于剩余部分面积，为$4a\ cm^2$。
C
