1. 如图,某地修建的一座建筑物的截面图的高BC= 5m,坡面AB的坡度为$1:\sqrt{3}$,则AB的长为()

A.10 m
B.$10\sqrt{3}$ m
C.5 m
D.$5\sqrt{3}$ m

A

坡面$AB$的坡度为$1:\sqrt{3}$，表示垂直高度与水平距离之比为$1:\sqrt{3}$。
已知垂直高度$BC = 5m$，设水平距离$AC = \sqrt{3}x$，则垂直高度$BC = x$。
由$BC = 5m$，可得$x = 5$。
因此，水平距离：
$AC = 5\sqrt{3} m$。
利用勾股定理计算斜边$AB$的长度：
$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{(5\sqrt{3} )^{2} + 5^{2}} = \sqrt{75 + 25} = \sqrt{100} = 10 m$。

2. 一条上山直道的坡度为1:7,沿这条直道上山,每前进100 m所上升的高度为m.

$10\sqrt{2}$

设上升高度为$x$m，水平距离为$7x$m。由勾股定理得$x^2 + (7x)^2 = 100^2$，即$50x^2 = 10000$，$x^2 = 200$，$x = 10\sqrt{2}$（负值舍去）。

3. 如图,斜坡CD的坡度$i= 1:2$,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB.当太阳光与水平面的夹角为$60°$时,大树在斜坡上的影子BE的长为10 m,则大树AB的高为m.

$4\sqrt{15}-2\sqrt{5}$

过点E作水平面垂线，垂足为G，过点B作水平面垂线，垂足为H，设BE在斜坡上的垂直高度差为x，水平距离差为2x（坡度1:2）。由勾股定理得$x^2+(2x)^2=10^2$，解得$x=2\sqrt{5}$，则水平距离差$2x=4\sqrt{5}$，垂直高度差$x=2\sqrt{5}$。设AB=h，光线AE与水平面夹角60°，在Rt△中，$\tan60°=\frac{h+2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\sqrt{3}$，解得$h=4\sqrt{15}-2\sqrt{5}$。