8. 如图,AB是半圆O的直径,点C,D将$\widehat{AB}$分成相等的三段弧,点P在$\widehat{AC}$上,点Q在$\widehat{AB}$上,且$\angle APQ= 115^{\circ }$,则点Q所在的弧是()

A.$\widehat{AP}$
B.$\widehat{DB}$
C.$\widehat{CD}$
D.$\widehat{PC}$

B

连接AQ，设∠APQ所对优弧AQ的度数为α。因为∠APQ=115°，由圆周角定理，∠APQ=1/2α，得α=230°。半圆AB为180°，故劣弧AQ度数=360°-230°=130°。
∵C、D将$\widehat{AB}$（180°）三等分，∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{DB}=60°$，则$\widehat{AD}=\widehat{AC}+\widehat{CD}=120°$。
劣弧AQ=130°，即$\widehat{AD}+\widehat{DQ}=130°$，∴$\widehat{DQ}=130°-120°=10°$，故Q在$\widehat{DB}$上。

9. 如图,P为正方形ABCD内一点,$\angle APD= \angle ADP= 75^{\circ }$,延长DP交BC于点E.若$EP= \sqrt{2}$,则正方形的边长为()

A.$\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{2}+1$
D.$\sqrt{3}+1$

D

设正方形边长为$a$。在$\triangle APD$中，$\angle APD = \angle ADP = 75°$，则$\angle PAD = 30°$，由等角对等边得$AP = AD = a$。
以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立坐标系，$A(0,0)$，$D(0,a)$，$B(a,0)$，$C(a,a)$。$\angle PAD = 30°$，$AP = a$，则$P$点坐标为$\left(a\sin30°, a\cos30°\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$。
直线$DP$：过$D(0,a)$，斜率$k = \frac{\frac{\sqrt{3}a}{2} - a}{\frac{a}{2} - 0} = \sqrt{3} - 2$，方程为$y = (\sqrt{3} - 2)x + a$。
$BC$为$x = a$，交点$E$坐标为$\left(a, (\sqrt{3} - 1)a\right)$。
$PE = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left[(\sqrt{3} - 1)a - \frac{\sqrt{3}a}{2}\right]^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}a}{2} - a\right)^2} = \sqrt{a^2(2 - \sqrt{3})}$。
已知$EP = \sqrt{2}$，则$\sqrt{a^2(2 - \sqrt{3})} = \sqrt{2}$，解得$a^2 = 4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$，故$a = \sqrt{3} + 1$。

10. 定义：在平面直角坐标系中,若经过x轴上一点P的直线l与双曲线m相交于M,N两点(点M在点N左侧),则把$\frac{PN}{PM}$的值称为直线l和双曲线m的适配比.已知经过点$P(-3,0)的直线y= x+b与双曲线y= \frac{k}{x}(k＜0)$的适配比不大于2,则k的取值范围是()
A.$-2\leqslant k＜-1$
B.$-\frac{9}{4}＜k\leqslant -2$
C.$-\frac{5}{2}＜k\leqslant -2$
D.$-\frac{9}{4}\leqslant k\leqslant -2$

B

∵直线$y=x+b$过$P(-3,0)$，∴$0=-3+b$，得$b=3$，直线方程为$y=x+3$。
联立$\begin{cases}y=x+3\\y=\frac{k}{x}\end{cases}$，得$x^2+3x-k=0$。设方程两根为$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$，对应M,N横坐标），则$x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=-k$（$k＜0$，故$x_1x_2＞0$，两根同号）。
直线与双曲线交点在第二象限（$x＜0,y＞0$），故$x_1＜x_2＜0$，且$x_1,x_2＞-3$（$P(-3,0)$在M,N左侧）。
适配比$\frac{PN}{PM}=\frac{|x_2+3|}{|x_1+3|}=\frac{x_2+3}{x_1+3}$（$x_1+3＞0,x_2+3＞0$）。设$m=x_1+3$，$n=x_2+3$，则$m+n=3$，$\frac{PN}{PM}=\frac{n}{m}\leq2$。
由$\frac{n}{m}\leq2$且$n=3-m$，得$\frac{3-m}{m}\leq2$，解得$m\geq1$。又$n＞m$，即$3-m＞m$，得$m＜\frac{3}{2}$，故$m\in[1,\frac{3}{2})$。
由$x_1=m-3$，$x_2=-m$（$x_1+x_2=-3$），韦达定理$x_1x_2=-k$，得$k=m(m-3)$。
$k=m^2-3m$在$m\in[1,\frac{3}{2})$上递减，当$m=1$时，$k=-2$；当$m\to\frac{3}{2}$时，$k\to-\frac{9}{4}$。
综上，$-\frac{9}{4}＜k\leq-2$。

11. 若$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义,则x的取值范围是.

$x \geq 2$

要使$\sqrt{x - 2}$在实数范围内有意义，被开方数须为非负数，即$x - 2 \geq 0$，解得$x \geq 2$。

12. 分解因式：$a^{3}-4ab^{2}=$.

$a(a + 2b)(a - 2b)$

原式 $a^{3} - 4ab^{2}$
首先提取公因式$a$，得：$a(a^{2} - 4b^{2})$
观察括号内的式子，它是一个平方差形式，即 $a^2 - (2b)^2$，因此可以利用平方差公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ 进行分解，得：$a(a + 2b)(a - 2b)$