21. (本小题 8 分)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,反比例函数$y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象分别与 AB,BC 交于点 D(4,1)和点 E,且 D 为 AB 的中点.
(1)求反比例函数的解析式和点 E 的坐标；
(2)若一次函数$y = x + m与反比例函数y= \frac{k}{x}(x＞0)$的图象相交于点 M,当点 M 在反比例函数图象上点 D,E 之间的部分时(点 M 可与点 D,E 重合),直接写出 m 的取值范围.

(1) 反比例函数解析式为$ y = \frac{4}{x} $，点$ E(2,2) $；(2) $ -3 \leq m \leq 0 $。

(1) 因为点$ D(4,1) $在反比例函数$ y = \frac{k}{x} $上，将$ x = 4 $，$ y = 1 $代入得$ 1 = \frac{k}{4} $，解得$ k = 4 $，故反比例函数解析式为$ y = \frac{4}{x} $。
四边形$ OABC $是矩形，$ D $为$ AB $中点，$ D(4,1) $，则$ A(4,0) $，$ B(4,2) $，$ C(0,2) $。$ BC $边在直线$ y = 2 $上，联立$ y = 2 $与$ y = \frac{4}{x} $，得$ 2 = \frac{4}{x} $，解得$ x = 2 $，故$ E(2,2) $。
(2) 当一次函数$ y = x + m $过点$ D(4,1) $时，$ 1 = 4 + m $，解得$ m = -3 $；过点$ E(2,2) $时，$ 2 = 2 + m $，解得$ m = 0 $。因为点$ M $在$ D $，$ E $之间，所以$ m $的取值范围为$ -3 \leq m \leq 0 $。

22. (本小题 10 分)在平面直角坐标系中,已知直线$y= \frac{1}{2}x与双曲线y= \frac{k}{x}的一个交点是A(2,a)$.
(1)求 k 的值；
(2)设$P(m,n)是双曲线y= \frac{k}{x}$上不同于点 A 的一点,直线 PA 与 x 轴交于点$B(b,0)$.
① 若$m = 1$,求 b 的值；
② 若$PB = 2AB$,结合图象,直接写出 b 的值.

(1)$2$；(2)①$3$；②$1$或$3$。

(1) 将点$A(2,a)$代入直线$y=\frac{1}{2}x$，得$a=\frac{1}{2}×2=1$，则$A(2,1)$。
将$A(2,1)$代入双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$1=\frac{k}{2}$，解得$k=2$。
(2) ① 双曲线解析式为$y=\frac{2}{x}$。当$m=1$时，$n=\frac{2}{1}=2$，则$P(1,2)$。
设直线$PA$的解析式为$y=px+q$，将$A(2,1)$，$P(1,2)$代入：
$\begin{cases}2p+q=1\\p+q=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}p=-1\\q=3\end{cases}$，直线$PA$：$y=-x+3$。
令$y=0$，得$0=-x+3$，解得$x=3$，则$b=3$。
② $b=1$或$b=3$。