变式训练 分解因式：
(1)$4x^{4}-9y^{2}$；(2)$(x + 2y)^{2}-9x^{2}$；(3)$x^{4}-16$。

(1)
解：原式 $4x^{4} - 9y^{2}$
= $(2x^{2})^{2} - (3y)^{2}$
= $(2x^{2} + 3y)(2x^{2} - 3y)$
(2)
解：原式 $(x + 2y)^{2} - 9x^{2}$
= $(x + 2y + 3x)(x + 2y - 3x)$
= $(4x + 2y)(2y - 2x)$ （或者写成$2(2x + y) × 2(y-x)=4(2x + y)(y - x)$，两种形式均正确）
= $4(2x + y)(y - x)$ （选择最后形式进行呈现）
(3)
解：原式 $x^{4} - 16$
= $(x^{2})^{2} - 4^{2}$
= $(x^{2} + 4)(x^{2} - 4)$
= $(x^{2} + 4)(x + 2)(x - 2)$

例 2 分解因式：
(1)$2x^{2}y - 2y$；(2)$a^{2}(a - b)+9(b - a)$。
名师导引 本题分解因式时首先要找出各项的公因式,提公因式后再套用平方差公式。

(1)
解：原式 $= 2y(x^{2} - 1)$
$= 2y(x + 1)(x - 1)$
(2)
解：原式 $= a^{2}(a - b) - 9(a - b)$
$= (a - b)(a^{2} - 9)$
$= (a - b)(a + 3)(a - 3)$

(1) $2x^{2}y - 2y$
$=2y(x^{2}-1)$
$=2y(x+1)(x-1)$
(2) $a^{2}(a - b)+9(b - a)$
$=a^{2}(a - b)-9(a - b)$
$=(a - b)(a^{2}-9)$
$=(a - b)(a+3)(a-3)$

变式训练 分解因式：
(1)$-x + 4xy^{2}$；(2)$m^{2}(2x - y)+4n^{2}(y - 2x)$。

(1) 原式$=4xy^{2}-x=x(4y^{2}-1)=x[(2y)^{2}-1^{2}]=x(2y+1)(2y-1)$
(2) 原式$=m^{2}(2x - y)-4n^{2}(2x - y)=(2x - y)(m^{2}-4n^{2})=(2x - y)(m^{2}-(2n)^{2})=(2x - y)(m + 2n)(m - 2n)$

1. 下列各式能用平方差公式分解因式的是()
A.$1 + a^{2}$
B.$-0.04 - 0.09y^{2}$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$-a^{2}+b^{2}$

D

平方差公式为$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，要求式子由两项组成，且均为平方项，符号相反。
A选项$1 + a^2$，两项符号相同，不能用平方差公式分解。
B选项$-0.04 - 0.09y^2$，两项符号相同，不能用平方差公式分解。
C选项$x^2 + y^2$，两项符号相同，不能用平方差公式分解。
D选项$-a^2 + b^2=b^2 - a^2$，符合平方差公式的形式，可以用平方差公式分解。

2. 把多项式 $x^{3}-xy^{2}$ 分解因式正确的是()
A.$x(x^{2}-y^{2})$
B.$x(x - y)^{2}$
C.$x(x + y)^{2}$
D.$x(x + y)(x - y)$

D

对多项式$x^{3}-xy^{2}$提取公因式$x$后可得$x(x^{2}-y^{2})$，再根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$x^{2}-y^{2}$继续分解，可得$x(x + y)(x - y)$。

3. 若 $x,y$ 互为相反数,且 $(x + 2)^{2}-(y + 2)^{2}= 4$,则 $x - y= $。

1

因为x，y互为相反数，所以y=-x。
将y=-x代入$(x + 2)^{2}-(y + 2)^{2}= 4$，得$(x + 2)^{2}-(-x + 2)^{2}= 4$。
利用平方差公式：$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，其中$a=x + 2$，$b=-x + 2$。
则原式$=[(x + 2) + (-x + 2)][(x + 2)-(-x + 2)]=(4)(2x)=8x$。
所以$8x = 4$，解得$x=\frac{1}{2}$。
则$y=-x=-\frac{1}{2}$，$x - y=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1$。

4. 分解因式：
(1)$16a^{2}-9b^{2}$；(2)$(x - 1)^{2}-9$；(3)$x^{3}-4x$；(4)$(a + b)^{3}-4(a + b)$；(5)$x^{2}y^{4}-x^{4}y^{2}$；(6)$x^{2}(a - 1)+y^{2}(1 - a)$。

(1)
$16a^{2}-9b^{2}$
$=(4a)^{2}-(3b)^{2}$
$=(4a + 3b)(4a - 3b)$
(2)
$(x - 1)^{2}-9$
$=(x - 1)^{2}-3^{2}$
$=(x - 1 + 3)(x - 1 - 3)$
$=(x + 2)(x - 4)$
(3)
$x^{3}-4x$
$=x(x^{2}-4)$
$=x(x^{2}-2^{2})$
$=x(x + 2)(x - 2)$
(4)
$(a + b)^{3}-4(a + b)$
$=(a + b)[(a + b)^{2}-4]$
$=(a + b)[(a + b)^{2}-2^{2}]$
$=(a + b)(a + b + 2)(a + b - 2)$
(5)
$x^{2}y^{4}-x^{4}y^{2}$
$=x^{2}y^{2}(y^{2}-x^{2})$
$=x^{2}y^{2}(y + x)(y - x)$
(6)
$x^{2}(a - 1)+y^{2}(1 - a)$
$=x^{2}(a - 1)-y^{2}(a - 1)$
$=(a - 1)(x^{2}-y^{2})$
$=(a - 1)(x + y)(x - y)$

5. 已知 $3^{16}-1$ 可以被 $7\sim11$ 之间的两个整数整除,则这两个数是。

$8$和$10$（题目让填空，若转化为选择则对应选项（若有）填对应表示$8$和$10$的选项）

利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$对$3^{16}-1$进行因式分解。
$3^{16}-1=(3^{8}+1)(3^{8}-1)$，
对$3^{8}-1$继续使用平方差公式，$3^{8}-1=(3^{4}+1)(3^{4}-1)$，
再对$3^{4}-1$使用平方差公式，$3^{4}-1=(3^{2}+1)(3^{2}-1)$。
因为$3^{2}=9$，所以$3^{2}+1 = 10$，$3^{2}-1=8$。
所以$3^{16}-1=(3^{8}+1)(3^{4}+1)(3^{2}+1)(3^{2}-1)=(3^{8}+1)(3^{4}+1)×10×8$。
故$3^{16}-1$能被$8$和$10$整除。
题目说$7\sim11$之间的两个整数，所以这两个数是$8$和$10$。

6. 计算：
(1)$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+5^{2}-6^{2}+…+99^{2}-100^{2}$；
(2)$(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{2}})(1-\frac{1}{4^{2}})…(1-\frac{1}{2025^{2}})$。

(1)
$\begin{aligned}原式&=(1^{2}-2^{2})+(3^{2}-4^{2})+(5^{2}-6^{2})+\cdots+(99^{2}-100^{2})\\&=(1 - 2)(1 + 2)+(3 - 4)(3 + 4)+(5 - 6)(5 + 6)+\cdots+(99 - 100)(99 + 100)\\&=(-1)×(1 + 2)+(-1)×(3 + 4)+(-1)×(5 + 6)+\cdots+(-1)×(99 + 100)\\&=(-1)×(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6+\cdots+99 + 100)\\&=(-1)×\frac{(1 + 100)×100}{2}\\&=-5050\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1 + \frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})\cdots(1-\frac{1}{2025})(1+\frac{1}{2025})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×\frac{3}{4}×\frac{5}{4}×\cdots×\frac{2024}{2025}×\frac{2026}{2025}\\&=\frac{1}{2}×\frac{2026}{2025}\\&=\frac{1013}{2025}\end{aligned}$
综上，(1)的结果是$-5050$；(2)的结果是$\frac{1013}{2025}$。