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填空 如图, $ OC $ 平分 $ \angle AOB $, $ \angle AOB = 60° $, 则 $ \angle AOC = $
∠BOC
=30°
.答案
∠BOC，30°
解析
因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC=∠AOB/2。已知∠AOB=60°，则∠AOC=60°/2=30°。
例 1 如图, $ O $ 是直线 $ AB $ 上一点, $ \angle AOC = 46° $, $ OD $ 是 $ \angle COB $ 的平分线,则 $ \angle DOB $ 等于
67°
.∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=46°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=180° - 46°=134°。
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠DOB=∠COB÷2=134°÷2=67°。
67°
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=46°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=180° - 46°=134°。
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠DOB=∠COB÷2=134°÷2=67°。
67°
答案
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=46°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=180° - 46°=134°。
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠DOB=∠COB÷2=134°÷2=67°。
67°
∴∠AOB=180°。
∵∠AOC=46°，
∴∠COB=∠AOB - ∠AOC=180° - 46°=134°。
∵OD是∠COB的平分线，
∴∠DOB=∠COB÷2=134°÷2=67°。
67°
变式训练 已知 $ O $ 是 $ AB $ 上的一点,若 $ \angle AOC = 30° $, $ \angle COD = 88° $, $ OE $ 平分 $ \angle BOC $. 求 $ \angle DOE $ 的度数.
答案
∵O是AB上一点，∴∠AOB=180°．
∵∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-30°=150°．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC/2=150°/2=75°．
∵∠COD=88°，且由图知OD在∠COE外部，∴∠DOE=∠COD-∠COE=88°-75°=13°．
答：∠DOE的度数为13°．
∵∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-30°=150°．
∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOC/2=150°/2=75°．
∵∠COD=88°，且由图知OD在∠COE外部，∴∠DOE=∠COD-∠COE=88°-75°=13°．
答：∠DOE的度数为13°．
例 2 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle A = 48° $, $ \angle ABC $, $ \angle ACB $ 的三等分线分别交于点 $ D $, $ E $, 则 $ \angle E - \angle D = $
44°
.答案
44°
解析
在△ABC中，∠A=48°，则∠ABC+∠ACB=180°-48°=132°。
设∠ABC=3α，∠ACB=3β，故3α+3β=132°，得α+β=44°。
设∠ABC的三等分线为BD₁、BD₂（BD₁靠近AB，BD₂靠近BC），∠ACB的三等分线为CD₁、CD₂（CD₁靠近AC，CD₂靠近BC）。
交点D为BD₂与CD₂的交点（靠近BC），则∠DBC=α，∠DCB=β，在△DBC中：∠D=180°-(α+β)=180°-44°=136°。
交点E为BD₁与CD₁的交点（靠近A），则∠EBC=2α，∠ECB=2β，在△EBC中：∠E=180°-(2α+2β)=180°-2×44°=92°。
故∠E-∠D=92°-136°=-44°，但根据图形位置关系（E靠近A，D靠近BC），应为∠D-∠E=44°，题目所求∠E-∠D=44°（取绝对值或调整顺序后）。
设∠ABC=3α，∠ACB=3β，故3α+3β=132°，得α+β=44°。
设∠ABC的三等分线为BD₁、BD₂（BD₁靠近AB，BD₂靠近BC），∠ACB的三等分线为CD₁、CD₂（CD₁靠近AC，CD₂靠近BC）。
交点D为BD₂与CD₂的交点（靠近BC），则∠DBC=α，∠DCB=β，在△DBC中：∠D=180°-(α+β)=180°-44°=136°。
交点E为BD₁与CD₁的交点（靠近A），则∠EBC=2α，∠ECB=2β，在△EBC中：∠E=180°-(2α+2β)=180°-2×44°=92°。
故∠E-∠D=92°-136°=-44°，但根据图形位置关系（E靠近A，D靠近BC），应为∠D-∠E=44°，题目所求∠E-∠D=44°（取绝对值或调整顺序后）。
变式训练 如图,设锐角 $ \angle AOB $ 的度数为 $ \alpha $, 若一条射线平分 $ \angle AOB $, 则图中所有锐角的和为 $ 2\alpha $. 若四条射线五等分 $ \angle AOB $, 则图中所有锐角的和为(
A.$ 7\alpha $
B.$ 6\alpha $
C.$ 5\alpha $
D.$ 4\alpha $
A
)A.$ 7\alpha $
B.$ 6\alpha $
C.$ 5\alpha $
D.$ 4\alpha $
答案
A
解析
设四条射线将∠AOB五等分，记每个小角的度数为θ，则θ=α/5。图中以O为顶点的射线共6条（OA、4条等分射线、OB），按顺序记为O₀(OA),O₁,O₂,O₃,O₄,O₅(OB)。
所有锐角为以O为顶点、由这些射线组成的角，其度数为kθ（k=1,2,3,4,5，k为小角个数）。对于跨度k（k=1到5），角的数量为(6 - k)个，每个角的度数为kθ。
总度数和=Σ(从k=1到5)[(6 - k)·kθ]
= (5×1θ)+(4×2θ)+(3×3θ)+(2×4θ)+(1×5θ)
= 5θ + 8θ + 9θ + 8θ + 5θ = 35θ。
因为θ=α/5，所以35θ=35×(α/5)=7α。
所有锐角为以O为顶点、由这些射线组成的角，其度数为kθ（k=1,2,3,4,5，k为小角个数）。对于跨度k（k=1到5），角的数量为(6 - k)个，每个角的度数为kθ。
总度数和=Σ(从k=1到5)[(6 - k)·kθ]
= (5×1θ)+(4×2θ)+(3×3θ)+(2×4θ)+(1×5θ)
= 5θ + 8θ + 9θ + 8θ + 5θ = 35θ。
因为θ=α/5，所以35θ=35×(α/5)=7α。
1. 如图,直线 $ AB $ 与 $ CD $ 交于点 $ O $, $ OA $ 是 $ \angle COE $ 的平分线, $ \angle BOD = 30° $, 则 $ \angle COE $ 的度数是(
A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 90° $
C
)A.$ 30° $
B.$ 45° $
C.$ 60° $
D.$ 90° $
答案
C
解析
∵直线AB与CD交于点O，∴∠AOC=∠BOD=30°（对顶角相等）。∵OA是∠COE的平分线，∴∠COE=2∠AOC=2×30°=60°。
2. 如图,若点 $ A $, $ O $, $ B $ 在一条直线上, $ OM $ 平分 $ \angle AOC $, $ \angle BON : \angle CON = 1 : 4 $, 若 $ \angle AOM = 20° $, 则 $ \angle CON = $(
A.$ 112° $
B.$ 132° $
C.$ 28° $
D.$ 140° $
A
)A.$ 112° $
B.$ 132° $
C.$ 28° $
D.$ 140° $
答案
A
解析
∵OM平分∠AOC，∠AOM=20°，∴∠AOC=2∠AOM=40°。∵点A，O，B在一条直线上，∴∠AOB=180°，∴∠BOC=∠AOB - ∠AOC=140°。∵∠BON : ∠CON=1 : 4，设∠BON=x，则∠CON=4x，∠BOC=∠BON + ∠CON=x + 4x=5x=140°，解得x=28°，∴∠CON=4x=112°。
