25. 如图,在数学综合实践活动中,某小组想要测量某条河的宽度AB,小组成员在专业人员的协助下利用无人机进行测量,在P处测得A,B两点的俯角分别为$45^{\circ}和30^{\circ}$(即$\angle CPA= 45^{\circ}$,$\angle CPB= 30^{\circ}$).若无人机离地面的高度PQ为120 m,且点Q,A,B在同一水平直线上,求这条河的宽度AB.(结果精确到1 m.参考数据：$\sqrt{2}\approx1.414$,$\sqrt{3}\approx1.732$)

在$Rt \bigtriangleup APQ$中，$\angle PAQ = 45^{\circ}$，$\angle AQP = 90^{\circ}$，$PQ = 120$ m，
所以$AQ=PQ=120$ m。
在$Rt \bigtriangleup BPQ$中，$\angle PBQ = 30^{\circ}$，$\angle BQP = 90^{\circ}$，$PQ = 120$ m，
所以$BQ=\frac{PQ}{\tan30^{\circ}}=\frac{120}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 120\sqrt{3}$ m。
则$AB = BQ - AQ=120\sqrt{3}- 120\approx120×1.732 - 120 = 207.84 - 120\approx 88$ m。
答：这条河的宽度AB约为88 m。

26. 如图,斜坡AP的坡度为1:2.4,斜坡AP的水平长度为24 m,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为$45^{\circ}$,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为$60^{\circ}$.求：
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)古塔BC的高度.(结果保留根号)

(1)设坡顶A到地面PQ的距离为h，斜坡AP的坡度为1:2.4，即$\frac{h}{水平长度}=\frac{1}{2.4}$。已知水平长度为24m，可得$h=24×\frac{1}{2.4}=10$m。
(2)设古塔BC的高度为$x$m。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=60^\circ$，$\tan60^\circ=\frac{BC}{AC}$，则$AC=\frac{BC}{\tan60^\circ}=\frac{x}{\sqrt{3}}$。
过A作$AD\perp PQ$于D，过B作$BE\perp PQ$于E，由(1)知$AD=10$m，$PD=24$m。则$BE=AD+BC=10+x$，$PE=PD+AC=24+\frac{x}{\sqrt{3}}$。
在$Rt\triangle PBE$中，$\angle BPE=45^\circ$，$\tan45^\circ=\frac{BE}{PE}=1$，故$BE=PE$，即$10+x=24+\frac{x}{\sqrt{3}}$。
解得$x=21+7\sqrt{3}$。
(1)10m；(2)$(21+7\sqrt{3})$m。

27. 如图,一艘渔船以40 n mile/h的速度由西向东追赶鱼群,在A处测得小岛C在渔船的北偏东$60^{\circ}$方向；半小时后,渔船到达点B处,此时测得小岛C在渔船的北偏东$30^{\circ}$方向.已知以小岛C为中心,周围18 n mile以内为军事演习区域.如果这艘渔船继续向东追赶鱼群,是否有危险？

过点C作$CD \perp AB$于点D。
根据题意，AB的距离为：$AB = 40 × 0.5 = 20$(n mile)。
在$Rt \bigtriangleup BCD$中，由于$\angle CBD = 60^{\circ}$，有：$\tan 60^{\circ} = \frac{CD}{BD} = \sqrt{3}$。
设$BD = x$，则$CD = \sqrt{3}x$。
在$Rt \bigtriangleup ACD$中，由于$\angle CAD = 30^{\circ}$，有：$\tan 30^{\circ} = \frac{CD}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
由于$AD = AB + BD = 20 + x$，代入得：$\frac{\sqrt{3}x}{20 + x} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
解这个方程，得到：$3\sqrt{3}x = 20\sqrt{3} + \sqrt{3}x$，$2\sqrt{3}x = 20\sqrt{3}$，$x = 10$。
所以，$CD = \sqrt{3} × 10 = 10\sqrt{3} \approx 17.32$(n mile)。
由于$17.32 \lt 18$，所以这艘渔船继续向东追赶鱼群，有危险。