8. 如图,$AB$,$AC分别为\odot O$的内接正六边形、内接正方形的一边,$BC是圆内接n$边形的一边,则$n$等于()

A.8
B.10
C.12
D.16

C

连接OA,OB,OC。
∵AB为⊙O内接正六边形一边，
∴∠AOB=360°/6=60°。
∵AC为⊙O内接正方形一边，
∴∠AOC=360°/4=90°。
当点B,C在OA同侧时，∠BOC=∠AOC-∠AOB=90°-60°=30°，
n=360°/30°=12。
当点B,C在OA异侧时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=90°+60°=150°，
n=360°/150°=12/5（非整数，舍去）。
综上，n=12。
C

9. 如图,边长为$a的正六边形内有两个斜边长为a$,有一个角是$60°$的直角三角形,则$\frac{S_{阴影}}{S_{空白}}$的值是()

A.3
B.4
C.5
D.6

C

正六边形面积：$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
直角三角形短直角边：$\frac{a}{2}$，长直角边：$\frac{\sqrt{3}}{2}a$
一个三角形面积：$\frac{1}{2} × \frac{a}{2} × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2$
两个三角形面积（空白）：$2 × \frac{\sqrt{3}}{8}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$
阴影面积：$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{5\sqrt{3}}{4}a^2$
$\frac{S_{阴影}}{S_{空白}} = \frac{\frac{5\sqrt{3}}{4}a^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2} = 5$
C

10. 如图,正六边形$ABCDEF内接于\odot O$,$M为EF$的中点,连结$DM$,若$\odot O$的半径为2,则$MD$的长度为()

A.$\sqrt{7}$
B.$\sqrt{5}$
C.2
D.1

A

连接$OE$，$OF$，$OD$，$OM$。
正六边形$ABCDEF$内接于$\odot O$，半径$OE=OF=OD=2$，中心角$\angle EOF=\angle FOD=\frac{360^\circ}{6}=60^\circ$，故$\angle EOD=\angle EOF+\angle FOD=120^\circ$。
$M$为$EF$中点，$OE=OF$，$\triangle OEF$为等边三角形，$OM\perp EF$，$\angle EOM=\frac{1}{2}\angle EOF=30^\circ$。
在$Rt\triangle OEM$中，$OM=OE\cdot\cos30^\circ=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
在$\triangle OMD$中，$OD=2$，$OM=\sqrt{3}$，$\angle MOD=\angle EOD-\angle EOM=120^\circ-30^\circ=90^\circ$。
由勾股定理得$MD=\sqrt{OM^2+OD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+2^2}=\sqrt{3+4}=\sqrt{7}$。
A

11. 如图,边长为4的正六边形$ABCDEF的中心与坐标原点O$重合,$AF// x$轴,将正六边形$ABCDEF绕原点O顺时针旋转n$次,每次旋转$60°$.当$n= 2017$时,顶点$A$的坐标为.

(2, 2√3)

正六边形边长为4，中心与原点O重合，$AF//x$轴。正六边形内角为$120^\circ$，顶点到中心距离等于边长4。
初始位置，顶点A在第二象限，$AF//x$轴，OA与y轴正方向夹角为$30^\circ$。
初始A点坐标：$x=4\sin(-30^\circ)=-2$，$y=4\cos(-30^\circ)=2\sqrt{3}$，即$(-2, 2\sqrt{3})$。
每次旋转$60^\circ$，旋转周期为$360^\circ/60^\circ=6$次。
$n=2017$时，$2017÷6=336\cdots\cdots1$，即旋转336周余1次，等同于旋转$60^\circ$。
绕原点顺时针旋转$60^\circ$，坐标变换公式：
$x'=x\cos60^\circ + y\sin60^\circ$，$y'=-x\sin60^\circ + y\cos60^\circ$。
代入$(-2, 2\sqrt{3})$：
$x'=-2×\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=-1 + 3=2$，
$y'=-(-2)×\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\sqrt{3} + \sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
顶点A的坐标为$(2, 2\sqrt{3})$。
$(2, 2\sqrt{3})$

12. 如图,$G$,$H分别是正六边形ABCDEF的边BC$,$CD$上的点,且$BG= CH$,$AG交BH于点P$.
(1)求证:$\triangle ABG\cong\triangle BCH$.
(2)求$\angle APH$的度数.

(2)120°

(1)证明：因为ABCDEF是正六边形，所以AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°。又因为BG=CH，所以△ABG≌△BCH(SAS)。
(2)120°