24. 如图,在等腰三角形ABC中,AB= AC,以AB为直径的⊙O与BC交于点D,DE⊥AC,垂足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为$\frac{5}{2}$,BD= 2,求CE的长.

(2)$\frac{4}{5}$

(1)证明：连接OD，AD。
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，
∴D为BC中点。
∵O为AB中点，
∴OD//AC。
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF。
∵OD是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线。
(2)连接AD。
∵⊙O半径为$\frac{5}{2}$，
∴AB=AC=5。
∵∠ADB=90°，BD=2，
∴AD=$\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 2^2}=\sqrt{21}$。
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2BD=4。
S△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×4×\sqrt{21}=2\sqrt{21}$。
∵DE⊥AC，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×AC×DE=2\sqrt{21}$，即$\frac{1}{2}×5×DE=2\sqrt{21}$，
解得DE=$\frac{4\sqrt{21}}{5}$。
在Rt△CDE中，CD=BD=2，
CE=$\sqrt{CD^2 - DE^2}=\sqrt{2^2 - (\frac{4\sqrt{21}}{5})^2}=\frac{4}{5}$。

25. 如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,D为⊙O上一点,且∠BAC= 2∠ABD,过点D作DE//BC交CA的延长线于点E.
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若AE= 8,DE= 12,求⊙O的半径.

(1)见解析；(2)13。

(1)连接OD，设∠ABD=α，则∠BAC=2α。
∵OB=OD，∴∠ODB=∠ABD=α。
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，
∴∠BAC+∠ABD=90°，即2α+α=90°，α=30°，
∴∠BAC=60°，∠ODB=30°。
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=60°，
∴△OAD为等边三角形，∠AOD=60°。
∵∠OAD=∠AOD=60°，∴OD//AE。
∵DE//BC，∠ACB=90°，∴∠E=90°，即AE⊥DE，
∴OD⊥DE，又OD为半径，∴DE为⊙O切线。
(2)过A作AF⊥OD于F，
∵OD//AE，AF⊥OD，DE⊥AE，
∴四边形AEDF为矩形，AF=DE=12，FD=AE=8。
设⊙O半径为r，则OD=OA=r，OF=OD-FD=r-8。
在Rt△OAF中，OA²=OF²+AF²，
即r²=(r-8)²+12²，解得r=13。

26. 如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD为直径,AC平分∠BCD.
(1)若BC= 5 cm,CD= 12 cm,求AB的长；
(2)求证：$BC+CD= \sqrt{2}AC$.

(1) ∵BD为直径，∴∠BCD=90°。在Rt△BCD中，BC=5cm，CD=12cm，由勾股定理得BD=√(BC²+CD²)=√(5²+12²)=13cm。
∵AC平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠ACB=∠ACD=45°。
由圆周角定理，∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=∠ACB=45°。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD。
∵AB²+AD²=BD²=13²=169，∴2AB²=169，AB=13√2/2 cm。
(2) 过A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N。
∵AC平分∠BCD，∴AM=AN。
∵∠BCD=90°，AM⊥BC，AN⊥CD，∴四边形AMCN为矩形，又AM=AN，故为正方形，∴CM=CN=AM=AN，AC=√2CM，即CM=√2AC/2。
∵ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，又∠ABM+∠ABC=180°，∴∠ABM=∠ADC。
在△ABM和△ADN中，∠ABM=∠ADC，∠AMB=∠AND=90°，AM=AN，∴△ABM≌△ADN(AAS)，∴BM=DN。
∵BC=BM+CM，CD=CN-DN=CM-BM，∴BC+CD=(BM+CM)+(CM-BM)=2CM=2×(√2AC/2)=√2AC。
(1) AB=13√2/2 cm；(2) 证明见上。