1. 关于x的二次函数$y= (a-1)x^{2}+ax+2a^{2}-2$的图像过原点,则a的值为 ()
A.-1
B.1
C.±1
D.0

A

因为二次函数$y=(a - 1)x^{2}+ax + 2a^{2}-2$的图像过原点$(0,0)$，所以将$x=0$，$y=0$代入函数得：$0=(a - 1)×0^{2}+a×0 + 2a^{2}-2$，即$2a^{2}-2=0$，解得$a=\pm1$。
又因为函数是二次函数，所以二次项系数$a - 1\neq0$，即$a\neq1$。
综上，$a=-1$。
A

2. 已知抛物线$y= ax^{2}+bx$经过点A(-3,-3),且该抛物线的对称轴经过点A,则该抛物线的表达式为 ()
A.$y= -\frac{1}{3}x^{2}-2x$
B.$y= -\frac{1}{3}x^{2}+2x$
C.$y= \frac{1}{3}x^{2}-2x$
D.$y= \frac{1}{3}x^{2}+2x$

D

∵抛物线$y = ax^{2}+bx$的对称轴经过点$A(-3,-3)$，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$，
$\therefore -\frac{b}{2a}=-3$，即$b = 6a$。
∵抛物线经过点$A(-3,-3)$，
$\therefore -3=a×(-3)^{2}+b×(-3)$，即$9a-3b=-3$。
将$b = 6a$代入$9a-3b=-3$，得$9a-18a=-3$，
解得$a=\frac{1}{3}$，则$b=6×\frac{1}{3}=2$。
$\therefore$抛物线表达式为$y=\frac{1}{3}x^{2}+2x$。
D

3. 已知二次函数的图像以A(-1,4)为顶点,且过点B(2,-5),则该二次函数的表达式为.

$y = -x^{2} - 2x + 3$

设二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^2 + 4$。
因为函数图像过点$B(2, -5)$，所以将$x = 2$，$y = -5$代入表达式得：
$-5 = a(2 + 1)^2 + 4$
$-5 = 9a + 4$
$9a = -5 - 4$
$9a = -9$
$a = -1$
则二次函数的表达式为$y = - (x + 1)^2 + 4$，展开得$y = -x^2 - 2x - 1 + 4 = -x^2 - 2x + 3$。
$y = -x^{2} - 2x + 3$

4. 已知A(2,3)是抛物线$y= -x^{2}+bx+3$上一点,该抛物线的表达式是.

$y = -x^{2} + 2x + 3$

因为点$A(2,3)$在抛物线$y = -x^{2}+bx + 3$上，所以将$x = 2$，$y = 3$代入抛物线表达式可得：$3=-2^{2}+2b + 3$，即$3=-4 + 2b + 3$，$3=2b - 1$，$2b=4$，解得$b = 2$，故该抛物线的表达式是$y=-x^{2}+2x + 3$。

5. 已知二次函数的图像经过(-1,0),(3,0),(0,3)三点,那么这个二次函数的表达式为.

$y=-x^{2}+2x + 3$

设二次函数的表达式为$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$）。
因为函数图像经过$(-1,0)$，$(3,0)$，$(0,3)$三点，将$(0,3)$代入表达式得：$3 = a×0^{2}+b×0 + c$，解得$c = 3$。
将$(-1,0)$和$c = 3$代入得：$0 = a×(-1)^{2}+b×(-1)+3$，即$a - b + 3 = 0$ ①。
将$(3,0)$和$c = 3$代入得：$0 = a×3^{2}+b×3 + 3$，即$9a + 3b + 3 = 0$，化简得$3a + b + 1 = 0$ ②。
① + ②得：$4a + 4 = 0$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入①得：$-1 - b + 3 = 0$，解得$b=2$。
所以二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x + 3$。

6. 已知抛物线经过点A(2,0),B(-1,0),且与y轴交于点C.若OC= 2,则该抛物线的函数表达式为.

由于题目没有给出选择题的选项，这里直接给出答案的表达式：$y = x^2 - x - 2$ 或 $y = -x^2 + x + 2$。如果这是选择题的一部分，需要根据实际选项来填写答案。

设抛物线的函数表达式为$y = a(x - 2)(x + 1)$（$a \neq 0$）。
因为抛物线与$y$轴交于点$C$，$OC = 2$，所以点$C$的坐标为$(0, 2)$或$(0, -2)$。
当点$C$的坐标为$(0, 2)$时，将$(0, 2)$代入$y = a(x - 2)(x + 1)$，得：
$2 = a(0 - 2)(0 + 1)$
$2 = -2a$
解得$a = -1$
此时抛物线的函数表达式为$y = -1(x - 2)(x + 1) = -x^2 + x + 2$
当点$C$的坐标为$(0, -2)$时，将$(0, -2)$代入$y = a(x - 2)(x + 1)$，得：
$-2 = a(0 - 2)(0 + 1)$
$-2 = -2a$
解得$a = 1$
此时抛物线的函数表达式为$y = 1(x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2$
综上，该抛物线的函数表达式为$y = x^2 - x - 2$或$y = -x^2 + x + 2$

7. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图像如图所示.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)当x为何值时,y= 3?

1. （1）
解：
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像过$(0,0)$，$(2,0)$，$(1, - 1)$。
把$(0,0)$代入$y = ax^{2}+bx + c$得：$c = 0$。
把$(2,0)$，$(1, - 1)$代入$y = ax^{2}+bx$得$\begin{cases}4a + 2b = 0\\a + b=-1\end{cases}$。
由$4a + 2b = 0$可得$2a + b = 0$，用$2a + b = 0$减去$a + b=-1$：
$(2a + b)-(a + b)=0-(-1)$。
$2a + b - a - b = 1$，即$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + b=-1$得：$1 + b=-1$，解得$b=-2$。
所以二次函数表达式为$y=x^{2}-2x$。
2. （2）
解：
当$y = 3$时，$x^{2}-2x = 3$。
移项得$x^{2}-2x - 3 = 0$。
因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$。
则$x - 3 = 0$或$x + 1 = 0$。
解得$x = 3$或$x=-1$。
综上，（1）二次函数表达式为$y = x^{2}-2x$；（2）$x = 3$或$x=-1$。

8. 如图,对称轴为直线x= -1的抛物线$y= x^{2}+bx+c$与x轴相交于A,B两点,其中点A的坐标为(-3,0).
(1)求抛物线的表达式;
(2)C为抛物线与y轴的交点,若点P在抛物线上,且$S_{\triangle POC}= 4S_{\triangle BOC}$,求点P的坐标.

(1) ∵抛物线$y=x^2+bx+c$对称轴为直线$x=-1$，且$a=1$，
∴对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-1$，即$-\frac{b}{2}=-1$，解得$b=2$。
∵点$A(-3,0)$在抛物线上，代入$y=x^2+2x+c$得：
$0=(-3)^2+2×(-3)+c$，即$9-6+c=0$，解得$c=-3$。
∴抛物线表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 令$x=0$，则$y=0^2+2×0-3=-3$，∴$C(0,-3)$。
令$y=0$，则$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，∴$B(1,0)$。
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× OB× OC=\frac{1}{2}×1×3=\frac{3}{2}$，
∴$S_{\triangle POC}=4S_{\triangle BOC}=4×\frac{3}{2}=6$。
设$P(m,n)$，则$S_{\triangle POC}=\frac{1}{2}× OC×|m|=\frac{1}{2}×3×|m|=6$，
解得$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$。
当$m=4$时，$n=4^2+2×4-3=16+8-3=21$；
当$m=-4$时，$n=(-4)^2+2×(-4)-3=16-8-3=5$。
∴点$P$坐标为$(4,21)$或$(-4,5)$。