22. 已知关于x的方程$x^{2}-(k+2)x+2k-1= 0$.
(1)如果方程的一个根为$x= 3$,求k的值及方程的另一根；
(2)求证：方程总有两个不相等的实数根.

(1)
解：将$x = 3$代入方程$x^{2} - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$，得：
$3^{2} - 3(k + 2) + 2k - 1 = 0$
$9 - 3k - 6 + 2k - 1 = 0$
$-k + 2 = 0$
解得：$k = 2$。
设方程的另一个根为$x_{1}$，由根与系数的关系知：
$x_{1} × 3 = 2k - 1$
代入$k = 2$，得：
$x_{1} × 3 = 2 × 2 - 1 = 3$
解得：$x_{1} = 1$。
(2)
证明：
一元二次方程$x^{2} - (k + 2)x + 2k - 1 = 0$的判别式为：
$\Delta = (k + 2)^{2} - 4(2k - 1)$
$= k^{2} + 4k + 4 - 8k + 4$
$= k^{2} - 4k + 8$
$= (k - 2)^{2} + 4$
由于$(k - 2)^{2} \geq 0$，所以$(k - 2)^{2} + 4 ＞ 0$。
因此，$\Delta ＞ 0$，方程总有两个不相等的实数根。

23. 如图,C为$\odot O$上的一点,直径$AB= 26$,$\angle ACB的平分线交\odot O$于点D,交AB于点E.
(1)求BD的长；
(2)若$AC= 10$,求CD的长.

(1)连接AD。
∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠ADB=90°。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°。
∵∠ACD与∠ABD所对弧均为AD，∴∠ABD=∠ACD=45°。
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，∴AD=BD。
∵AB=26，AD²+BD²=AB²，∴2BD²=26²，解得BD=13√2。
(2)在Rt△ABC中，AB=26，AC=10，∴BC=√(AB²-AC²)=√(26²-10²)=24。
∵CD平分∠ACB，∴AE/EB=AC/BC=10/24=5/12。
∵AE+EB=AB=26，∴AE=130/17，EB=312/17。
过E作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，设EF=EG=h。
∵S△AEC+S△BEC=S△ABC，∴(1/2)×10h+(1/2)×24h=1/2×10×24，解得h=120/17。
在Rt△EFC中，∠ECF=45°，∴CE=√2h=120√2/17。
由相交弦定理得CE·ED=AE·EB，∴ED=(AE·EB)/CE=(130/17×312/17)/(120√2/17)=169√2/17。
∴CD=CE+ED=120√2/17+169√2/17=17√2。
(1)13√2；(2)17√2。

24. 如图是一个由小正方形构成的8×8的网格,每个小正方形的顶点叫作格点,$\odot O$经过A,B,C三个格点,请你使用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,在圆上找一点D,使得$BD= AC$；
(2)在图②中,在圆上找一点P,使得A为弧BP的中点.

1. （1）
解：
因为$\odot O$中，$AC$和$BD$是弦，根据圆的性质，在同圆或等圆中，等弧对等弦。
先将$AC$平移，利用格点构造平行四边形$ACBD_1$（或$ACB_1D$等）。
连接格点构造平行四边形：
以$AC$为一边，通过格点找到与$AC$平行且相等的线段$BD$（具体做法：从$B$点出发，按照$AC$的横向和纵向格点移动距离，找到$D$点，使得$AC// BD$且$AC = BD$，因为平行四边形对边相等，$AC$和$BD$所对的弧相等，所以$BD=AC$）。
2. （2）
解：
因为$A$为弧$BP$的中点，所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AP}$，根据圆的性质，在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，且圆心角相等。
连接$OA$，延长$OA$交$\odot O$于点$P$。
理由：因为$OA$是半径，$\angle AOB=\angle AOP$（对顶角或平角关系），所以$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AP}$，即$A$为弧$BP$的中点。
（具体图形根据上述方法，利用格点和无刻度直尺作出即可）。