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24. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$D是BC$边上的中点,连接$AD$,$BE平分\angle ABC交AC于点E$,过点$E作EF // BC交AB于点F$.
(1)若$\angle C = 36^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数；
(2)求证：$FB = FE$.
(1)若$\angle C = 36^{\circ}$,求$\angle BAD$的度数；
(2)求证：$FB = FE$.
答案
(1)解:因为AB=AC,所以∠C=∠ABC.因为∠C=36°,所以∠ABC=36°.因为AB=AC,D是BC边上的中点,所以AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠BAD=90° - 36°=54°.
(2)证明:因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC.因为EF//BC,所以∠FEB=∠CBE,所以∠FBE=∠FEB,所以FB=FE.
25. (1)问题发现：
如图①,$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等边三角形,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,连接$BE$.
①$\angle AEB$的度数为
②线段$AD$,$BE$之间的数量关系是
(2)拓展探究：
如图②,$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等腰三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,$CM为\triangle DCE中DE$边上的高,连接$BE$.请判断$\angle AEB的度数及线段CM$,$AE$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
(图①)
(图②)
如图①,$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等边三角形,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,连接$BE$.
①$\angle AEB$的度数为
60°
； ②线段$AD$,$BE$之间的数量关系是
AD=BE
. (2)拓展探究：
如图②,$\triangle ACB和\triangle DCE$均为等腰三角形,$\angle ACB = \angle DCE = 90^{\circ}$,点$A$,$D$,$E$在同一直线上,$CM为\triangle DCE中DE$边上的高,连接$BE$.请判断$\angle AEB的度数及线段CM$,$AE$,$BE$之间的数量关系,并说明理由.
(图①)
(图②)
∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由如下:因为△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠CDE=∠DEC=45°,∠ACB - ∠DCB=∠DCE - ∠DCB,即∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE.所以AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.所以∠AEB=∠BEC - ∠CED=135° - 45°=90°.在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,所以∠DCM=∠ECM=45°,所以∠DCM=∠ECM=∠CDE=∠DEC,所以CM=DM=ME,所以DE=2CM.所以AE=DE+AD=2CM+BE.
答案
(1)①60° ②AD=BE
(2)∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由如下:因为△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=90°,所以AC=BC,CD=CE,∠BAC=∠ABC=∠CDE=∠DEC=45°,∠ACB - ∠DCB=∠DCE - ∠DCB,即∠ACD=∠BCE,所以△ACD≌△BCE.所以AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.所以∠AEB=∠BEC - ∠CED=135° - 45°=90°.在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,所以∠DCM=∠ECM=45°,所以∠DCM=∠ECM=∠CDE=∠DEC,所以CM=DM=ME,所以DE=2CM.所以AE=DE+AD=2CM+BE.
