8. 与算式$3^{2}+3^{2}+3^{2}$的运算结果相等的是()
A.$3^{3}$
B.$2^{3}$
C.$3^{6}$
D.$3^{8}$

A

$3^{2}+3^{2}+3^{2}=3 × 3^{2}=3^{1} × 3^{2}=3^{1+2}=3^{3}$，所以与$3^{3}$结果相等。

▲9. 上海举办过第十四届国际数学教育大会(简称ICME - 14)。会徽的主题图案(如图所示)有着丰富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂文明,图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字$3745$。我们常用的数是十进制数,如$4657 = 4×10^{3}+6×10^{2}+5×10^{1}+7×10^{0}$,在计算机中用的是二进制数,如二进制数$110 = 1×2^{2}+1×2^{1}+0×2^{0}等于十进制的数6$。八进制数$3745$换算成十进制是。
]

2021

根据题意，八进制数$3745$转换为十进制数的计算过程为：
$3745_{(8)}=3×8^{3}+7×8^{2}+4×8^{1}+5×8^{0}$
$=3×512 + 7×64+4×8 + 5×1$
$=1536+448+32 + 5$
$=2021$

10. 已知$1$米长的木条,第一次截去一半,第二次截去剩下的一半,如此截下去,第六次后剩下的木条有多长？

第一次截去一半后剩下：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（米）
第二次截去后剩下：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$（米）
第三次截去后剩下：$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$（米）
……
第六次截去后剩下：$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{64}$（米）
答：第六次后剩下的木条长$\frac{1}{64}$米。

★11. 你能比较$2018^{2019}和2019^{2018}$的大小吗？这个问题,如果写出它的一般形式,即比较$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}$的大小($n$是正整数),然后我们从分析$n = 1$,$n = 2$,$n = 3$,…这些简单的情况入手,从中发现规律,经过归纳猜想得出结论。
(1) 通过计算,比较下列各组数的大小(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)：
$1^{2}$$2^{1}$,$2^{3}$$3^{2}$,$3^{4}$$4^{3}$,$4^{5}$$5^{4}$,$5^{6}$$6^{5}$。
(2) 从第(1)题的结果猜想$n^{n + 1}和(n + 1)^{n}$的大小关系是什么。

(3) 根据上面的归纳猜想,比较$2022^{2023}和2023^{2022}$的大小。

(1) $1^{2}=1$，$2^{1}=2$，则$1^{2} ＜ 2^{1}$；
$2^{3}=8$，$3^{2}=9$，则$2^{3} ＜ 3^{2}$；
$3^{4}=81$，$4^{3}=64$，则$3^{4} ＞ 4^{3}$；
$4^{5}=1024$，$5^{4}=625$，则$4^{5} ＞ 5^{4}$；
$5^{6}=15625$，$6^{5}=7776$，则$5^{6} ＞ 6^{5}$。
故答案为：＜，＜，＞，＞，＞。
(2) 当$n=1$或$n=2$时，$n^{n+1} ＜ (n+1)^{n}$；当$n \geq 3$时，$n^{n+1} ＞ (n+1)^{n}$。
(3) 因为$2022 \geq 3$，由(2)知$2022^{2023} ＞ 2023^{2022}$。