1. 如图所示,三角形 $ ABC $ 的面积为 $ 1 \mathrm{cm}^2 $, $ AP $ 垂直于 $ \angle ABC $ 的平分线 $ BP $ 于点 $ P $, 连接 $ PC $, 则 $ \triangle PBC $ 的面积是 $ \mathrm{cm}^2 $.

0.5

延长AP交BC于点E。
∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠EBP。
∵AP⊥BP，∴∠APB=∠EPB=90°。
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBP，BP=BP，∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP=EP，即P为AE中点。
∵P为AE中点，∴S△APC=S△EPC（等底同高）。
设S△ABP=S△EBP=S，S△APC=S△EPC=T，
则S△ABC=2S+2T=1cm²，∴S+T=0.5cm²。
∵S△PBC=S△EBP+S△EPC=S+T，∴S△PBC=0.5cm²。

2. (教材题变式)如图所示, $ \angle B = \angle C = 90° $, $ E $ 是 $ BC $ 的中点, $ DE $ 平分 $ \angle ADC $, 求证:
(1) $ AE $ 平分 $ \angle DAB $;
(2) $ AB + CD = AD $.

(1) 过点E作EF⊥AD于点F.
∵DE平分∠ADC，∠C=90°，EF⊥AD，
∴EF=EC（角平分线上的点到角两边距离相等）.
∵E是BC中点，∴EC=EB，∴EF=EB.
在Rt△AEF和Rt△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=AE \\ EF=EB \end{array}\right.$，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB（HL）.
∴∠EAF=∠EAB，即AE平分∠DAB.
(2) 在△DCE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠C=∠DFE=90° \\ ∠CDE=∠FDE \\ DE=DE \end{array}\right.$，
∴△DCE≌△DFE（AAS）.
∴CD=DF.
由(1)知Rt△AEF≌Rt△AEB，∴AB=AF.
∵AD=AF+FD，∴AD=AB+CD，即AB+CD=AD.

3. (2025· 内江)如图所示, 在四边形 $ ABCD $ 中, $ CB = CD $, 对角线 $ AC $ 平分 $ \angle DAB $. 求证: $ \angle D + \angle ABC = 180° $.

证明：在AB上截取AE=AD，连接CE。
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC。
在△ADC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}AD=AE\\ \angle DAC=\angle EAC\\ AC=AC\end{array}\right.$
∴△ADC≌△AEC（SAS）。
∴∠D=∠AEC，CD=CE。
∵CB=CD，∴CE=CB。
∴∠CEB=∠CBE（等边对等角）。
∵∠AEC+∠CEB=180°（邻补角定义），
∴∠D+∠CBE=180°。
∵∠CBE=∠ABC，
∴∠D+∠ABC=180°。

4. 如图所示, 已知 $ AD // BC $, $ \angle 1 = \angle 2 $, $ \angle 3 = \angle 4 $, 证明: $ AB = AD + BC $.

在AB上截取AF=AD，连接EF。
∵∠1=∠2，AE=AE，AF=AD，
∴△ADE≌△AFE(SAS)，
∴∠ADE=∠AFE。
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠C=180°(两直线平行，同旁内角互补)。
∵∠ADE=∠AFE，
∴∠AFE+∠C=180°。
∵∠AFE+∠BFE=180°(平角定义)，
∴∠BFE=∠C。
∵∠3=∠4，BE=BE，
∴△BFE≌△BCE(AAS)，
∴BF=BC。
∵AB=AF+BF，AF=AD，BF=BC，
∴AB=AD+BC。

证明：在 $AB$ 上截取 $AF = AD$，连接 $EF$。
在$\triangle ADE$和$\triangle AFE$中，
$\begin{cases}AD = AF \\\angle 1 = \angle 2 \\AE = AE\end{cases}$
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle AFE(SAS)$，$\therefore \angle ADE = \angle AFE$。
$\because AD // BC$，$\therefore \angle ADE + \angle C = 180°$。
$\because \angle AFE + \angle BFE = 180°$，$\therefore \angle C = \angle BFE$。
在$\triangle BFE$和$\triangle BCE$中，
$\begin{cases}\angle C = \angle BFE \\\angle 3 = \angle 4 \\BE = BE\end{cases}$
$\therefore \triangle BFE \cong \triangle BCE(AAS)$，$\therefore BF = BC$。
$\because AB = AF + BF$，$\therefore AB = AD + BC$。

5. 如图所示, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ \angle CAB = \angle CBA = 45° $, $ CA = CB $, 点 $ E $ 为 $ BC $ 的中点, $ CN \perp AE $ 于点 $ O $, 交 $ AB $ 于点 $ N $.
(1) 求证: $ \angle 1 = \angle 2 $;
(2) 求证: $ AE = CN + EN $.

(1) ∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠ACB=90°。
∵CN⊥AE，∴∠AOC=90°，∴∠CAE+∠ACO=90°。
∵∠ACB=90°，∴∠BCN+∠ACO=90°，∴∠CAE=∠BCN，即∠1=∠2。
(2) 过点B作BM⊥BC交CN延长线于点M。
∵BM⊥BC，∠ACB=90°，∴∠CBM=∠ACE=90°。
在△ACE和△CBM中，∠ACE=∠CBM，AC=CB，∠CAE=∠BCM，∴△ACE≌△CBM(ASA)。
∴AE=CM，CE=BM。
∵E为BC中点，∴CE=EB，∴BM=EB。
∵∠CBA=45°，∠CBM=90°，∴∠MBN=∠CBM-∠CBA=45°=∠EBN。
在△EBN和△MBN中，EB=MB，∠EBN=∠MBN，BN=BN，∴△EBN≌△MBN(SAS)。
∴EN=MN。
∵CM=CN+MN，∴AE=CN+EN。