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1. 幂的乘方法则
法则：幂的乘方,底数
用字母表示：$(a^{m})^{n}=$
2. 积的乘方法则
法则：积的乘方,等于把积的每一个因式分别
用字母表示：$(ab)^{n}=$
法则：幂的乘方,底数
不变
,指数相乘
；用字母表示：$(a^{m})^{n}=$
$a^{mn}$
($m$,$n$都是正整数)。2. 积的乘方法则
法则：积的乘方,等于把积的每一个因式分别
乘方
,再把所得的幂相乘
；用字母表示：$(ab)^{n}=$
$a^{n}b^{n}$
($n$是正整数)。答案
1. 不变，相乘，$a^{mn}$
2. 乘方，相乘，$a^{n}b^{n}$
2. 乘方，相乘，$a^{n}b^{n}$
解析
1. 根据幂的乘方法则，幂的乘方是底数不变，指数相乘。用字母表示为 $(a^{m})^{n}=a^{m × n}$。
2. 根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$。
2. 根据积的乘方法则，积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。用字母表示为 $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$。
【例1】计算：$(-x^{3})^{2}(-x^{2})^{3}+x^{3}\cdot x^{9}$。
答案
首先，我们根据幂的乘方运算法则，有：
$(-x^{3})^{2} = (-1)^{2} × (x^{3})^{2} = 1 × x^{6} = x^{6}$
同样地，对于$(-x^{2})^{3}$，我们有：
$(-x^{2})^{3} = (-1)^{3} × (x^{2})^{3} = -1 × x^{6} = -x^{6}$
接下来，我们考虑$x^{3} \cdot x^{9}$，根据同底数幂的乘法法则，有：
$x^{3} \cdot x^{9} = x^{3+9} = x^{12}$
现在，我们将上述结果代入原式进行计算：
$(-x^{3})^{2}(-x^{2})^{3} + x^{3} \cdot x^{9} = x^{6} × (-x^{6}) + x^{12}$
$= -x^{12} + x^{12}$
$= 0$
故答案为：$0$。
$(-x^{3})^{2} = (-1)^{2} × (x^{3})^{2} = 1 × x^{6} = x^{6}$
同样地，对于$(-x^{2})^{3}$，我们有：
$(-x^{2})^{3} = (-1)^{3} × (x^{2})^{3} = -1 × x^{6} = -x^{6}$
接下来，我们考虑$x^{3} \cdot x^{9}$，根据同底数幂的乘法法则，有：
$x^{3} \cdot x^{9} = x^{3+9} = x^{12}$
现在，我们将上述结果代入原式进行计算：
$(-x^{3})^{2}(-x^{2})^{3} + x^{3} \cdot x^{9} = x^{6} × (-x^{6}) + x^{12}$
$= -x^{12} + x^{12}$
$= 0$
故答案为：$0$。
1. 如果$(3^{n})^{2}= 3^{12}$,那么$n$的值为(
A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
B
)A.$4$
B.$6$
C.$8$
D.$10$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(3^{n})^{2} = 3^{n × 2} = 3^{2n}$。
已知$(3^{n})^{2} = 3^{12}$，则$3^{2n} = 3^{12}$。
由于底数相同，指数必须相等，即$2n = 12$。
解得$n = 6$。
已知$(3^{n})^{2} = 3^{12}$，则$3^{2n} = 3^{12}$。
由于底数相同，指数必须相等，即$2n = 12$。
解得$n = 6$。
2. 计算：
(1)$-(a^{2})^{5}$；
(2)$[(-3)^{3}]^{2}$；
(3)$(a^{n})^{n + 1}$；
(4)$-[- (a - 3)^{3}]^{4}$。
(1)$-(a^{2})^{5}$；
(2)$[(-3)^{3}]^{2}$；
(3)$(a^{n})^{n + 1}$；
(4)$-[- (a - 3)^{3}]^{4}$。
答案
(1)
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(a^{2})^{5}=a^{2×5}=a^{10}$。
所以$-(a^{2})^{5}=-a^{10}$。
(2)
先计算$(-3)^{3}=-27$，再计算$[(-3)^{3}]^{2}=(-27)^{2}$。
根据幂的乘方运算法则，$[(-3)^{3}]^{2}=(-3)^{3×2}=(-3)^{6}=729$。
(3)
根据幂的乘方运算法则，$(a^{n})^{n + 1}=a^{n(n + 1)}$。
(4)
先根据幂的乘方运算法则计算$[-(a - 3)^{3}]^{4}=(a - 3)^{3×4}=(a - 3)^{12}$。
所以$-[- (a - 3)^{3}]^{4}=-(a - 3)^{12}$。
综上，答案依次为：(1)$-a^{10}$；(2)$729$；(3)$a^{n(n + 1)}$；(4)$-(a - 3)^{12}$。
根据幂的乘方运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$(a^{2})^{5}=a^{2×5}=a^{10}$。
所以$-(a^{2})^{5}=-a^{10}$。
(2)
先计算$(-3)^{3}=-27$，再计算$[(-3)^{3}]^{2}=(-27)^{2}$。
根据幂的乘方运算法则，$[(-3)^{3}]^{2}=(-3)^{3×2}=(-3)^{6}=729$。
(3)
根据幂的乘方运算法则，$(a^{n})^{n + 1}=a^{n(n + 1)}$。
(4)
先根据幂的乘方运算法则计算$[-(a - 3)^{3}]^{4}=(a - 3)^{3×4}=(a - 3)^{12}$。
所以$-[- (a - 3)^{3}]^{4}=-(a - 3)^{12}$。
综上，答案依次为：(1)$-a^{10}$；(2)$729$；(3)$a^{n(n + 1)}$；(4)$-(a - 3)^{12}$。
【例2】已知$a^{m}= 2$,$a^{n}= b$,求$a^{3m + 2n}$的值。
答案
$8b^2$
解析
$a^{3m+2n}=a^{3m}\cdot a^{2n}=(a^m)^3\cdot (a^n)^2$，
因为$a^m=2$，$a^n=b$，
所以原式$=2^3\cdot b^2=8b^2$。
因为$a^m=2$，$a^n=b$，
所以原式$=2^3\cdot b^2=8b^2$。
幂的乘方法则的逆用：$a^{mn}= (a^{m})^{n}= (a^{n})^{m}$($m$,$n$都是正整数)；
逆用的条件：在有关幂的运算中,若有幂的指数相乘,则可逆用幂的乘方法则。
逆用的条件：在有关幂的运算中,若有幂的指数相乘,则可逆用幂的乘方法则。
答案
答题（以下为示例题目及解答，因原题未具体给出，故构造一示例）
示例题目：计算$(3^{2})^{3} × (3^{3})^{2}$，并逆用幂的乘方法则进行简化。
$ (3^{2})^{3} = 3^{2 × 3} = 3^{6} $；
$ (3^{3})^{2} = 3^{3 × 2} = 3^{6} $；
$ 3^{6} × 3^{6} = 3^{6+6} = 3^{12} $。
所以，$(3^{2})^{3} × (3^{3})^{2} = 3^{12}$。
示例题目：计算$(3^{2})^{3} × (3^{3})^{2}$，并逆用幂的乘方法则进行简化。
$ (3^{2})^{3} = 3^{2 × 3} = 3^{6} $；
$ (3^{3})^{2} = 3^{3 × 2} = 3^{6} $；
$ 3^{6} × 3^{6} = 3^{6+6} = 3^{12} $。
所以，$(3^{2})^{3} × (3^{3})^{2} = 3^{12}$。
3. $x^{18}$不能写成(
A.$(x^{2})^{16}$
B.$(x^{2})^{9}$
C.$(x^{3})^{6}$
D.$x^{9}\cdot x^{9}$
A
)A.$(x^{2})^{16}$
B.$(x^{2})^{9}$
C.$(x^{3})^{6}$
D.$x^{9}\cdot x^{9}$
答案
A
解析
根据幂的乘方与积的乘方法则：
选项A：$(x^{2})^{16} = x^{2 × 16} = x^{32} \neq x^{18}$
选项B：$(x^{2})^{9} = x^{2 × 9} = x^{18}$
选项C：$(x^{3})^{6} = x^{3 × 6} = x^{18}$
选项D：$x^{9} \cdot x^{9} = x^{9+9} = x^{18}$
因此，$x^{18}$不能写成选项A的形式。
4. 已知$n$为正整数,且$x^{2n}= 4$,求$9(x^{3n})^{2}-13(x^{2})^{2n}$的值。
答案
答题卡：
由已知条件，$x^{2n} = 4$。
使用幂的乘方运算法则，将$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n}$进行化简：
$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n} = 9x^{6n} - 13x^{4n}$
将$x^{2n} = 4$代入化简后的式子中，因为$x^{6n} = (x^{2n})^3$，$x^{4n} = (x^{2n})^2$，所以：
$9x^{6n} - 13x^{4n} = 9 × 4^{3} - 13 × 4^{2}$
$= 9 × 64 - 13 × 16$
$= 576 - 208$
$= 368$
所以，$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n}$的值为$368$。
由已知条件，$x^{2n} = 4$。
使用幂的乘方运算法则，将$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n}$进行化简：
$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n} = 9x^{6n} - 13x^{4n}$
将$x^{2n} = 4$代入化简后的式子中，因为$x^{6n} = (x^{2n})^3$，$x^{4n} = (x^{2n})^2$，所以：
$9x^{6n} - 13x^{4n} = 9 × 4^{3} - 13 × 4^{2}$
$= 9 × 64 - 13 × 16$
$= 576 - 208$
$= 368$
所以，$9(x^{3n})^{2} - 13(x^{2})^{2n}$的值为$368$。
