若已知条件中出现30°或60°角,通常考虑作垂直构造直角三角形. 当出现15°角时,以15°角为底角作等腰三角形,则与这个等腰三角形顶角相邻的外角等于30°. 该性质把直角三角形特殊的角度与线段之间的数量关系紧密联系起来,是求线段长度和证明线段的倍数关系的重要依据.

答案略

4. 如图(1)所示的是某超市入口的双翼闸门,如图(2)所示,当它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为7 cm,双翼的边缘AC= BD= 80 cm,且与闸机侧立面夹角∠ACP= ∠BDQ= 30°,求当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度.

过点A作AE⊥CP于E，过点B作BF⊥DQ于F。
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=30°，AC=80cm，
∴AE=AC·sin30°=80×1/2=40cm。
同理，在Rt△BDF中，∠BFD=90°，∠BDF=30°，BD=80cm，
∴BF=BD·sin30°=80×1/2=40cm。
当双翼收起时，通过闸机的最大宽度为AB+AE+BF=7+40+40=87cm。
87cm

1. 如图所示,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD是AB边上的高,∠B= 60°.
(1)若BD= 2,则AB的长为()。
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
(2)若AB= 8,则AD= 。

(1)C；(2)6

(1)在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，则∠A=30°。CD是AB边上的高，∠CDB=90°，在Rt△CDB中，∠B=60°，所以∠BCD=30°，则BC=2BD=4。在Rt△ABC中，∠A=30°，所以AB=2BC=8。
(2)在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=8，所以BC=AB/2=4。在Rt△CDB中，∠BCD=30°，所以BD=BC/2=2，故AD=AB-BD=8-2=6。

2. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠C= 30°,AB⊥AD,AD= 5 cm,则BC的长为()

A.8 cm
B.12 cm
C.16 cm
D.15 cm

D

∵AB=AC，∠C=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=120°-90°=30°.
∵∠DAC=∠C=30°，∴DC=AD=5cm.
在Rt△ABD中，∠B=30°，∠BAD=90°，∴AD=1/2BD（30°角所对直角边等于斜边一半），∴BD=2AD=2×5=10cm.
∴BC=BD+DC=10+5=15cm.

3. 等腰三角形的腰长为3,底角为15°,则腰上的高为()
A.1
B.1.5
C.2
D.3

B

在等腰三角形ABC中，AB=AC=3（腰长），底角∠B=∠ACB=15°，则顶角∠BAC=180°-15°×2=150°。过点C作AB边上的高CD，垂足为D，由于∠BAC=150°为钝角，故D在BA延长线上，∠CAD=180°-150°=30°。在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠CAD=30°，斜边AC=3，根据含30°角的直角三角形性质，30°角所对直角边CD=1/2AC=1/2×3=1.5。

4. 如图所示,在等边三角形ABC中,AB= 4,BD//AC,BD⊥CD,则BD= 。

2

∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=4，∠ACB=60°。
∵BD//AC，∴∠DBC=∠ACB=60°（两直线平行，内错角相等）。
∵BD⊥CD，∴∠BDC=90°，则△BDC是直角三角形。
在Rt△BDC中，∠BCD=90°-∠DBC=30°，
∴BD=1/2 BC（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半）。
∵BC=4，∴BD=1/2×4=2。

5. 如图所示,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 若BC= 4,则BE+CF= 。

2

因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$，
又$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，
所以在$Rt\triangle BED$中，$\angle BDE = 30^{\circ}$，则$BD = 2BE$，
在$Rt\triangle CFD$中，$\angle CDF = 30^{\circ}$，则$CD = 2CF$，
因为$BC = BD + CD = 4$，
所以$2BE+2CF = 4$，
则$BE + CF = 2$。

6. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,∠BAC= 120°,AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若BD= 2 cm,求DC的长度.

(1)
$\because AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle B=\angle C = \frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=30^{\circ}$。
$\because DE$是$AB$的垂直平分线，
$\therefore AD = BD$，
$\therefore \angle B=\angle BAD = 30^{\circ}$。
(2)
$\because \angle BAD = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle BAC - \angle BAD=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
$\because \angle C = 30^{\circ}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ADC$中，$DC = 2AD$。
$\because AD = BD = 2cm$，
$\therefore DC = 4cm$。
综上，(1) $\angle BAD = 30^{\circ}$；(2) $DC$的长度为$4cm$。