登录
5. 在直角三角形 $ABC$ 中,$\angle ABC = 90^{\circ}$,$AB = 3$,$BC = 4$,$AC = 5$,则 $\triangle ABC$ 的三条高之和为(
A.$8.4$
B.$9.4$
C.$10.4$
D.$11.4$
B
)A.$8.4$
B.$9.4$
C.$10.4$
D.$11.4$
答案
B
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5。
∵∠ABC=90°，∴AB、BC为直角边，互为高，长度分别为3和4。
设斜边上的高为h，由面积公式得：$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·h$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5·h$，解得h=2.4。
三条高之和为3+4+2.4=9.4。
∵∠ABC=90°，∴AB、BC为直角边，互为高，长度分别为3和4。
设斜边上的高为h，由面积公式得：$\frac{1}{2}AB·BC=\frac{1}{2}AC·h$，即$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5·h$，解得h=2.4。
三条高之和为3+4+2.4=9.4。
6. 如图,$AD$ 是 $\angle CAE$ 的平分线,$\angle B = 35^{\circ}$,$\angle DAE = 60^{\circ}$,则 $\angle ACD= $(
A.$25^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
D
)A.$25^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$85^{\circ}$
D.$95^{\circ}$
答案
D
解析
∵AD是∠CAE的平分线，∠DAE=60°，∴∠CAE=2∠DAE=120°。
∵∠CAE是△ABC的外角，∠B=35°，∴∠ACB=∠CAE - ∠B=120° - 35°=85°。
∵∠ACB + ∠ACD=180°，∴∠ACD=180° - 85°=95°。
∵∠CAE是△ABC的外角，∠B=35°，∴∠ACB=∠CAE - ∠B=120° - 35°=85°。
∵∠ACB + ∠ACD=180°，∴∠ACD=180° - 85°=95°。
7. 如图,已知 $\angle 1 = 20^{\circ}$,$\angle 2 = 25^{\circ}$,$\angle A = 35^{\circ}$,则 $\angle BDC$ 的度数为(
A.$80^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
A
)A.$80^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$120^{\circ}$
D.$45^{\circ}$
答案
A
解析
在△ABC中，∠A=35°，由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°。
∵∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，∠1=20°，∠2=25°，
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=145°，即20°+∠DBC+25°+∠DCB=145°，
∴∠DBC+∠DCB=145°-45°=100°。
在△DBC中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°。
∵∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，∠1=20°，∠2=25°，
∴∠1+∠DBC+∠2+∠DCB=145°，即20°+∠DBC+25°+∠DCB=145°，
∴∠DBC+∠DCB=145°-45°=100°。
在△DBC中，由三角形内角和定理得∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°-100°=80°。
8. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$,$E$,$F$ 分别为 $BC$,$AD$,$CE$ 的中点,若 $S_{\triangle ABC}= 4\mathrm{cm}^{2}$,则阴影部分的面积等于(
A.$1\mathrm{cm}^{2}$
B.$2\mathrm{cm}^{2}$
C.$1.5\mathrm{cm}^{2}$
D.$2.5\mathrm{cm}^{2}$
A
)A.$1\mathrm{cm}^{2}$
B.$2\mathrm{cm}^{2}$
C.$1.5\mathrm{cm}^{2}$
D.$2.5\mathrm{cm}^{2}$
答案
A
解析
∵D是BC中点，$S_{\triangle ABC}=4\mathrm{cm}^2$，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=2\mathrm{cm}^2$。
∵E是AD中点，
∴$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=1\mathrm{cm}^2$，$S_{\triangle CED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=1\mathrm{cm}^2$。
∴$S_{\triangle BEC}=S_{\triangle BED}+S_{\triangle CED}=2\mathrm{cm}^2$。
∵F是CE中点，
∴$S_{\triangle BEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle BEC}=1\mathrm{cm}^2$。
9. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$E$ 是 $BC$ 上的一点,$EC = 2BE$,点 $D$ 是 $AC$ 的中点,且 $S_{\triangle ABC}= 24$,则 $S_{\triangle ADF}-S_{\triangle BEF}= $(
A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
B
)A.$2$
B.$4$
C.$6$
D.$8$
答案
B
解析
$\because D$为$AC$的中点，
$\therefore S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABD}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 12$，
$\because EC = 2BE$，
$\therefore BC=BE+EC=3BE$，
$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 8$，
$\therefore S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE} =(S_{\triangle ADF} + S_{\triangle ABF}) - (S_{\triangle BEF} + S_{\triangle ABF}) = S_{\triangle ADF} - S_{\triangle BEF} = 12 - 8 = 4$。
$\therefore S_{\triangle ABD} = S_{\triangle ABD}= \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 12$，
$\because EC = 2BE$，
$\therefore BC=BE+EC=3BE$，
$\therefore S_{\triangle ABE} = \frac{1}{3}S_{\triangle ABC} = 8$，
$\therefore S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE} =(S_{\triangle ADF} + S_{\triangle ABF}) - (S_{\triangle BEF} + S_{\triangle ABF}) = S_{\triangle ADF} - S_{\triangle BEF} = 12 - 8 = 4$。
10. 一个等腰三角形的周长为 $32\mathrm{cm}$,腰长的 $3$ 倍比底边长的 $2$ 倍多 $6\mathrm{cm}$,求各边的长。
答案
设等腰三角形的腰长为 $ x\ \mathrm{cm} $，底边长为 $ y\ \mathrm{cm} $。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x + y = 32 \\3x - 2y = 6\end{cases}$
由第一个方程，得 $ y = 32 - 2x $。
将 $ y = 32 - 2x $ 代入第二个方程：
$3x - 2(32 - 2x) = 6$
$3x - 64 + 4x = 6$
$7x = 70$
$x = 10$
则 $ y = 32 - 2×10 = 12 $。
验证三角形三边关系：$ 10 + 10 ＞ 12 $，$ 10 + 12 ＞ 10 $，符合题意。
答：等腰三角形的腰长为 $ 10\ \mathrm{cm} $，底边长为 $ 12\ \mathrm{cm} $。
根据题意，得：
$\begin{cases}2x + y = 32 \\3x - 2y = 6\end{cases}$
由第一个方程，得 $ y = 32 - 2x $。
将 $ y = 32 - 2x $ 代入第二个方程：
$3x - 2(32 - 2x) = 6$
$3x - 64 + 4x = 6$
$7x = 70$
$x = 10$
则 $ y = 32 - 2×10 = 12 $。
验证三角形三边关系：$ 10 + 10 ＞ 12 $，$ 10 + 12 ＞ 10 $，符合题意。
答：等腰三角形的腰长为 $ 10\ \mathrm{cm} $，底边长为 $ 12\ \mathrm{cm} $。
11. 如图,在 $\triangle BCD$ 中,$BC = 4$,$BD = 5$。
(1)求 $CD$ 的取值范围；
(2)若 $AE// BD$,$\angle A = 55^{\circ}$,$\angle BDE = 125^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数。
(1)求 $CD$ 的取值范围；
(2)若 $AE// BD$,$\angle A = 55^{\circ}$,$\angle BDE = 125^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数。
答案
(1)在△BCD中，根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
∵ BC=4，BD=5，
∴ BD-BC ＜ CD ＜ BD+BC，
即 5-4 ＜ CD ＜ 5+4，
∴ 1 ＜ CD ＜ 9。
(2)
∵ C，D，E三点共线，∠BDE=125°，
∴ ∠BDC=180°-∠BDE=180°-125°=55°。
∵ AE//BD，∠A=55°，
∴ ∠DBC=∠A=55°（两直线平行，同位角相等）。
在△BCD中，∠C=180°-∠DBC-∠BDC=180°-55°-55°=70°。
(1)1 ＜ CD ＜ 9；
(2)70°
12. 如图,已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $12$,$D$,$E$ 分别是 $BC$,$AD$ 的中点,连接 $BE$,$EF\perp BC$ 于点 $F$,$BD = 3$。
(1)求 $EF$ 的长；
(2)若 $CF = 2$,求四边形 $AEFC$ 的面积。
(1)求 $EF$ 的长；
(2)若 $CF = 2$,求四边形 $AEFC$ 的面积。
答案
(1)∵D是BC中点，BD=3，∴BC=2BD=6。
∵△ABC面积=12，∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC × h=12$（h为A到BC距离），即$\frac{1}{2} × 6 × h=12$，解得h=4。
∵D是BC中点，∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$。
∵E是AD中点，∴$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=3$。
又$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2} × BD × EF$，BD=3，∴$\frac{1}{2} × 3 × EF=3$，解得EF=2。
(2)∵BC=6，BD=3，∴DC=3。
∵CF=2，∴DF=DC-CF=3-2=1。
∵E是AD中点，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$，∴$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=3$。
$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2} × CF × EF=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
∴四边形AEFC面积=$S_{\triangle AEC}+S_{\triangle EFC}=3+2=5$。
(1)2；(2)5
∵△ABC面积=12，∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × BC × h=12$（h为A到BC距离），即$\frac{1}{2} × 6 × h=12$，解得h=4。
∵D是BC中点，∴$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$。
∵E是AD中点，∴$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}=3$。
又$S_{\triangle BED}=\frac{1}{2} × BD × EF$，BD=3，∴$\frac{1}{2} × 3 × EF=3$，解得EF=2。
(2)∵BC=6，BD=3，∴DC=3。
∵CF=2，∴DF=DC-CF=3-2=1。
∵E是AD中点，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=6$，∴$S_{\triangle AEC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}=3$。
$S_{\triangle EFC}=\frac{1}{2} × CF × EF=\frac{1}{2} × 2 × 2=2$。
∴四边形AEFC面积=$S_{\triangle AEC}+S_{\triangle EFC}=3+2=5$。
(1)2；(2)5
